Forgásfelület

Az x=2+cos z görbe egy szakasza a z tengely körül megforgatva.

A forgásfelület egy olyan felület, ami egy síkgörbe (ez a vezérgörbe) egy, a görbe síkjába eső egyenes (ez a forgástengely) körül való megforgatásával áll elő.

• Ha a vezérgörbe egy, a forgástengellyel párhuzamos egyenes, akkor hengerpalástot kaphatunk.
• Ha az egyenes vezérgörbe általános helyzetű, kúpfelület jön létre.
• Ha kört forgatunk meg egy átmérője körül, akkor gömbfelületet kapunk.
• Ha a kört egy síkjába eső, de rajta kívül húzódó tengely körül forgatjuk meg, akkor tóruszfelületet kapunk.
• Ha ellipszist forgatunk meg egyik tengelye körül, szferoidot kapunk.

Ha a görbe az $x(t)$, $y(t)$ parametrikus függvényekkel van megadva, ahol a $t$ egy $[a,b]$ intervallumon értelmezett, és a forgástengely az $y$ koordinátatengely, akkor az $A$ területet a következő integrállal adhatjuk meg (feltéve ha $x(t)$ sehol sem negatív):

$A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt$

Pappus–Guldin tétel

Az egyik Pappus–Guldin tétel kimondja, hogy a forgásfelület felszine egyenlő a vezérgörbe hosszának és a vezérgörbe súlypontja útjának szorzatával:

$A=s.r_{s}.\alpha \,$

Itt

$r_{s}\,$ a vezérgörbe súlypontjának távolsága a tengelytől,

$\alpha \,$ a megforgatás szöge.