Formálny jazyk

(Formálny) jazyk je zovšeobecnenie pojmu jazyk z lingvistiky.

Formálne jazyky, ich vlastnosti a modely na ich opis študuje teória formálnych jazykov v informatike. Na jazyky sa môžeme pozerať ako na problémy. Formalizácia tohto pojmu prináša možnosť s ním exaktne pracovať a tým aj dokazovať vlastnosti problémov, ktoré reprezentujú, či sa vôbec dajú riešiť a aké sú náročné na riešenie.

Definícia

Jazyk nad abecedou $\Sigma$ je ľubovoľná množina slov s konečnou dĺžkou nad touto konečnou abecedou.

Príklady

Majme abecedu $\Sigma =\{a,b,c\}$. Jazyky nad touto abecedou sú napr.:

• $L_{1}=\{aa,bb,cc\}$,
• $L_{2}=\{a\}$,
• $L_{3}=\{a,b,c\}=\Sigma$,
• $L_{4}=\emptyset$,
• $L_{5}=\{a,aa,aaa,aaaa,\ldots \}=\{a^{i}~|~i\geq 1\}$,
• $L_{6}=\Sigma ^{*}$.

Reprezentácia

Keďže formálne jazyky sú množiny, môžeme využiť všetky spôsoby reprezentácie množín, napr. vymenovanie prvkov pri konečných jazykoch alebo udanie logického predikátu nad množinou všetkých slov nad abecedou. V teórii formálnych jazykov boli vyvinuté dva veľmi silné modely, ktoré popisujú jazyky. Prvým je gramatika, ktorá svojimi pravidlami generuje slová z daného jazyka. Druhým modelom je automat. Na automat sa môžeme pozerať ako na čiernu skrinku, ktorá pre ľubovoľné slovo nad abecedou povie, či toto slovo patrí do daného jazyka alebo nie.

Klasifikácia jazykov

V teórii formálnych jazykov delíme jazyky podľa sily modelov, ktoré ich popisujú, t. j. gramatík alebo automatov. V roku 1956 americký informatik a lingvista Noam Chomsky popísal hierarchiu jazykov, ktorú dnes poznáme ako Chomského hierarchia.

Operácie nad jazykmi

Nech $L_{1},L_{2}$ sú jazyky nad abecedou $\Sigma$:

Nad jazykmi sú definované, prirodzene, množinové operácie

• zjednotenie jazykov $L_{1}\cup L_{2}=\{w~|~w\in L_{1}\vee w\in L_{2}\}$,
• prienik jazykov $L_{1}\cap L_{2}=\{w~|~w\in L_{1}\wedge w\in L_{2}\}$,
• rozdiel jazykov $L_{1}\setminus L_{2}=\{w~|~w\in L_{1}\wedge w\not \in L_{2}\}$,
• komplement jazyka $L_{1}=\Sigma ^{*}\setminus L_{1}$ (pozri nižšie definíciu Kleeneho uzáveru - jazyka $\Sigma ^{*}$).

Ďalej sa definujú nasledovné základné operácie:

• zreťazenie jazykov $L_{1}.L_{2}=\{w_{1}.w_{2}~|~w_{1}\in L_{1}\wedge w_{2}\in L_{2}\}$, kde $w_{1}.w_{2}$ je zreťazenie slov $w_{1}$ a $w_{2}$,
• mocnina jazyka je definovaná rekurzívne: $L_{1}^{0}=\{\varepsilon \},L_{1}^{i}=L.L^{i-1}$. Do $i$-tej mociny jazyka patria teda všetky slová, ktoré vznikli zreťazením $i$ slov z jazyka $L_{1}$,
• Kleeneho hviezdička (Kleeneho uzáver, iterácia) jazyka $L_{1}^{*}=\bigcup _{i=0}^{\infty }L_{1}^{i}$. Do Kleeneho uzáveru jazyka $L_{1}$ patria teda všetky slová, ktoré dostaneme zreťazením ľubovoľného (aj nulového) počtu slov z jazyka $L_{1}$,
• Kleeneho plus (Kleeneho kladný uzáver, kladná iterácia) jazyka $L_{1}^{+}=\bigcup _{i=1}^{\infty }L_{1}^{i}$. Obecne neplatí, že $L_{1}^{+}=L_{1}^{*}\setminus \{\varepsilon \}$; táto rovnosť platí len vtedy ak $L_{1}$ neobsahuje $\varepsilon \$.
• homomorfizmus: Nech je dané zobrazenie $h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}$ medzi Kleeneho uzávermi abecied $\Sigma _{1}$ a $\Sigma _{2}$ také, že $\forall w_{1},w_{2}\in \Sigma _{1}^{*}:h(w_{1}.w_{2})=h(w_{1}).h(w_{2})$. Zobrazenia s touto vlastnosťou voláme homomorfizmus. Obrazom jazyka $L\subseteq \Sigma _{1}^{*}$ v homomorfizme $h$ nazývame jazyk $h(L)=\{h(w)|w\in L\}$.