Wzór Eulera-Maclaurina

Colin Maclaurin, jeden z odkrywców wzoru

Wzór Eulera-Maclaurina – wzór dający silne połączenie między całkami (zobacz rachunek różniczkowy i całkowy) a sumami. Może być użyty do przybliżania całek przez skończone sumy lub odwrotnie, do szacowania skończonych sum i nieskończonych szeregów przez całki. Wzór został odkryty niezależnie przez Leonharda Eulera i Colina Maclaurina około 1735. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych szeregów, podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do przybliżonego obliczania całek.

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną i $f(x)$ jest gładką (tzn. wystarczająco wiele razy różniczkowalną) funkcją określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ pomiędzy 0 i $n,$ wtedy całka

$I=\int \limits _{0}^{n}f(x)\,dx$

może być przybliżona przez sumę (zob. wzór trapezów)

$S={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\ldots +f\left(n-1\right)+{\frac {f(n)}{2}}.$

Wzór Eulera-Maclaurina pozwala wyrażać różnicę pomiędzy sumą $S$ a całką $I$ za pomocą wartości wyższych pochodnych $f^{(k)}$ na brzegach przedziału $[0,n].$ Dla każdej liczby naturalnej $p$ mamy

$S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R,$

gdzie $B_{2}=1/6,$ $B_{4}=-1/30,$ $B_{6}=1/42,$ $B_{8}=-1/30,...$ są liczbami Bernoulliego, zaś $R$ jest błędem przybliżenia. Wartość błędu może być oszacowana jako

$\left|R\right|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int \limits _{0}^{n}\left|f^{(2p+1)}(x)\right|\,dx.$

Przy odpowiednich założeniach na funkcję $f$ powyższa wielkość dąży do zera, gdy $p$ dąży do nieskończoności. Wykonując odpowiednie podstawienie, można zapisać powyższy wzór również dla funkcji $f$ zdefiniowanych na innych przedziałach.

Jeśli $f$ jest wielomianem oraz $p$ jest wystarczająco duże, to wyraz reszty znika. Np. jeśli $f(x)=x^{3},$ możemy podstawić $p=2,$ by otrzymać (po uproszczeniu)

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

Dla funkcji $f(x)=\log(x),$ formuła Eulera-Maclaurina może być użyta do wyliczenia precyzyjnego oszacowania błędu we wzorze Stirlinga przybliżającym wartość silni.

Linki zewnętrzne

• Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula