Fourierren serie

Fourier-en serie bat serie infinitu bat da, funtzio periodiko eta jarraitu batekin puntualki bat egiten duena. Bat egite hori funtzio-zatika soilik izan daiteke, baina zati horietan jarraia izan behar da.

Fourierren serieak Fourierren analisiaren oinarrizko tresna matematikoa dira, funtzio periodikoak funtzio sinusoidal askoz sinpleagoen batura amaigabe gisa (hala nola sinuak eta kosinuak maiztasun osoekin konbinatuz).

Frantziako Jean-Baptiste Joseph Fourier matematikariari zor zaio izena, zeinak beroaren ekuazioa aztertzen ari zela garatu baitzuen teoria. Serie horiek sistematikoki aztertu zituen lehena izan zen, eta hasierako emaitzak 1807an eta 1811n argitaratu zituen. Ikerketa-arlo honi analisi harmonikoa deitzen zaio batzuetan.

Ingeniaritzaren adar askotan erabiltzen den aplikazioa da, eta, gainera, oso tresna erabilgarria da teoria matematiko abstraktuan. Aplikazio-eremu hauek ditu: bibrazio-analisia, akustika, optika, irudien eta seinaleen prozesamendua eta datuen konpresioa.

Ingeniaritzan, telekomunikazio-sistemen kasuan, eta seinale jakin baten maiztasunaren osagai espektralak erabiliz, seinale eramailerako sistema baten diseinua optimiza daiteke.

Fourier-en serieek forma hau dute:

{\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos {\frac {2n\pi }{T}}t+b_{n}\sin {\frac {2n\pi }{T}}t\right]

non $a_{n}\,\!$ eta $b_{n}\,\!$ , $f(t)\,\!$ funtzioaren Fourier serieko Fourier-en koefizienteak deitzen diren.

Definizioa

$f(t)\,$ funtzioa $t$ aldagai errealaren funtzioa izanik, $[t_{0}-T/2,t_{0}+T/2]$ tartean integragarria, tarte horretan $f\,$ -ren Fourier-en serieko garapena lor daiteke..Tartetik kanpo, seriea periodikoa da, $T\,$ izanik bere periodoa.

$f(t)\,$ zuzen erreal osoan periodikoa bada, Fourier-en serieen bidezko hurbilketak ere balioko du $t\,$ -ren balio guztietarako.

Beraz, $f(t)\,$ -ri lotutako Fourierren seriea ondokoa da:

f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)\right]

non $a_{0}$ , $a_{n}$ eta $b_{n}$ , ondoko balio hauek hartzen dituzten Fourier-en koefizienteak diren:

a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\operatorname {sen} \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt.

Fourier-en seriea definitzeko beste modu bat hau da:

f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {{\omega _{n}}{t}}+b_{n}\operatorname {sen} {{\omega _{n}}{t}}\right)

non $\omega _{n}=n\omega$ eta $\omega =2{\pi }f={\frac {2{\pi }}{T}}$ izanik:

a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos {{\omega _{n}}{t}}dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\operatorname {sen} {{\omega _{n}}{t}}dt.

Fourier-en seriearen forma horri Fourier-en serie trigonometriko deritzo.

Forma konplexua

Eulerren formularen bidez, forma konplexuan ere adieraz daitezke goiko formulak:

f(t)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i{\frac {n}{T}}t}.

Hauek dira orain koefizienteak:

c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\,e^{-2\pi i{\frac {n}{T}}t}\,dt.

Historia

Fourier-en serieek beren izena Jean-Baptiste Joseph Fourier-engandik (1768-1830) jaso zuten, zeinak ekarpen garrantzitsuak egin baitzituen serie trigonometrikoen azterketan. Aurrez Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert eta Daniel Bernoulli ere aritu ziren lan horretan. Fourierrek serieak sartu zituen beroaren eroapenaren ekuazioa metalezko xafla batean ebazteko, 1807an bere emaitzak argitaratuz Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Oroimena gorputz solidoetan beroaren hedapenari buruz') lanean, eta bere Théorie analytique de la chaleur ('Beroaren teoria analitikoa') 1822an argitaratuz. Funtzio periodiko bat oszilazio-funtzio sinpleen batura gisa deskonposatzeko ideiak askoz lehenagoakoak dira hala ere, K.a-ko III. mendean antzinako astronomoek epizikloan oinarritutako planeta-mugimenduaren eredu enpirikoa proposatu baitzuten.

Beroaren ekuazioa deribatu partzialetako ekuazio bat da. Fourier-en lanaren aurretik, ez zen ezagutzen beroaren ekuaziorako irtenbiderik oro har, nahiz eta irtenbide partikularrak ezagutzen ziren bero-iturriak modu sinplean jokatzen bazuen, bereziki iturria sinu- edo kosinu-uhin bat bazen. Irtenbide sinple horiei, batzuetan, balio propioak deritze. Fourier-en ideia bero-iturri konplexu baten eredua osatzea zen, uhin sinusoidal sinpleak gainjarriz (edo konbinazio lineala eginez), eta ebazpena balio propioen gainjartze gisa idatziz. Gainjartze edo konbinazio linealari Fourier-en seriea deitzen zaio.

Gaur egungo ikuspegitik Fourier-en emaitzak nahiko informalak dira, XIX. mendearen hasieran funtzio matematikoaren eta integrazioaren nozioaren zehaztasun falta dela eta. Ondoren, Peter Gustav Lejeune Dirichletek^[1] eta Bernhard Riemannek^[2]^[3]^[4] zehaztasun eta formaltasun handiagoz adierazi zituzten Fourier-en emaitzak.

Abiapuntua beroaren ekuazioa ebaztea zen arren, handik denbora batera nabaria izan zen teknika bera erabil zitekeela problema fisiko eta matematiko multzo handi batean, bereziki koefiziente konstanteko ekuazio diferentzial linealak erabiltzen zituztenetan, haien soluzio bakarrak sinusoidalak baitziren. Fourier-en serieek aplikazio ugari dituzte ingeniaritza elektrikoan, bibrazioen analisian, akustikan, optikan, seinaleen prozesamenduan, ukitu fotografikoan, mekanika kuantikoan, ekonometrian, kasko mehea duten egituren teorian eta abarretan.

Fourier-en serieen adibideak

Ikus dezagun adibide bat:

f(x)=x,\quad \mathrm {para} -\pi <x<\pi ,

f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {para} -\infty <x<\infty .

Kasu horretan, Fourier-en koefizienteek hau ematen digute:

{\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\operatorname {sen}(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}

Fourier-en serieak puntu desberdinetara egiten badu konbergentzia: $f(x)$ $x$ $f$

{\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\operatorname {sen} \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\operatorname {sen}(nx),\quad \mathrm {para} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}

Aplikazioak

Anplitude aldakorreko osziladore elektrikoek sortutako sinusoideen gainjartzearen bidez korronte-uhinen edo tentsio elektrikoaren formak sortzea, horien maiztasunak zehaztuta badaude.
Seinale baten portaera harmonikoaren analisia.
Seinaleak indartzea.
Sarrera-seinalea sinusoidala edo kosinusoidala ez den zirkuitu elektriko baten erantzuna denboran aztertzea, Laplace-ren transformatuak eta/edo erregimen iraunkor sinusoidaleko soluzioa erabiliz maiztasunaren eremuan.
Ekuazio diferentzial batzuk deribatu partzialetan ebaztean, erraz zenbatu daitezkeen Fourier-en serieen formako soluzio partikularrak onartzen dira, eta irtenbide praktikoak lortzen dira, bero-transmisioaren teorian, plaken teorian eta abarretan.

Erreferentziak

↑ Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.
↑ Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. .
↑ D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</
↑ Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.

Kanpo estekak

Datuak: Q179467
Multimedia: Fourier series / Q179467

[1] Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.

[2] Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. .

[3] D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</

[4] Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.

[1]

[2]

[3]

[4]