Representació de la funció digamma
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
reals .Representació en color de la funció digamma,
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
pla complex En matemàtiques , la funció digamma es defineix com la derivada logarítmica de la funció gamma :[ 1] [ 2]
ψ
(
x
)
=
d
d
x
ln
(
Γ
(
x
)
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}
És la primera de les funcions poligamma .
La funció digamma sovint es denota com a
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(x)}
ψ
(
0
)
(
x
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(x)}
Ϝ (la forma en majúscula de la consonant grega arcaica digamma , que significa doble gamma ).
Seguint el treball d'Euler sobre la funció gamma , James Stirling va introduir la funció digamma en 1730, denotant-la Ϝ, la lletra grega digamma (majúscula). Més tard va ser estudiada per Legendre , Poisson i Gauss al voltant de 1810; la convergència de la sèrie de Stirling per a aquesta funció va ser demostrada per Stern en 1847.[ 3]
Actualment se sol denotar amb la lletra
ψ
{\displaystyle \psi }
psi minúscula).
Considerant la funció gamma com una generalització formal del factorial (més precisament,
Γ
(
x
)
=
1
×
2
×
⋯
×
(
x
−
1
)
{\displaystyle \Gamma (x)=1\times 2\times \dots \times (x-1)}
ψ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
=
1
+
1
/
2
+
1
/
3
+
⋯
+
1
/
(
z
−
1
)
=
H
z
−
1
,
{\displaystyle \psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=1+1/2+1/3+\dots +1/(z-1)=H_{z-1},}
on
H
n
{\displaystyle H_{n}}
nombre harmònic .
Així, la funció digamma podria definir una generalització dels nombres harmònics als complexos . Una fórmula exacta per a
ψ
(
n
)
{\displaystyle \psi _{(n)}}
n
{\displaystyle n}
enter .
La funció digamma és una funció meromorfa definida en tot el pla complex privat dels enters negatius.
La definició d'Euler de la funció gamma en forma integral mostra que per a qualsevol nombre complex
z
{\displaystyle z}
ψ
(
z
)
=
∫
0
∞
y
z
−
1
ln
y
e
−
y
d
y
∫
0
∞
y
z
−
1
e
−
y
d
y
.
{\displaystyle \psi (z)={\frac {\int _{0}^{\infty }y^{z-1}\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y}{\int _{0}^{\infty }y^{z-1}{\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y}}.}
Així,
ψ
(
1
)
=
∫
0
∞
ln
y
e
−
y
d
y
=
−
γ
{\displaystyle \psi (1)=\int _{0}^{\infty }\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y=-\gamma }
γ
=
0
,
57721566490153
{\displaystyle \gamma =0,57721566490153}
constant d'Euler-Mascheroni .D'altra banda,
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
derivar ) la relació de recurrència
ψ
(
z
+
1
)
=
ψ
(
z
)
+
1
z
;
{\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}~;}
de fet, el teorema de Bohr-Mollerup mostra que la funció digamma és l'única solució de l'equació funcional
F
(
x
+
1
)
=
F
(
x
)
+
1
x
{\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}
que és monòtona sobre ℝ+ i que verifica
F
(
1
)
=
−
γ
{\displaystyle F(1)=-\gamma }
A partir d'això, es dedueix que la funció digamma d'un enter
n
>
0
{\displaystyle n>0}
ψ
0
(
n
)
{\displaystyle \psi _{0}(n)}
ψ
(
0
)
(
n
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(n)}
[ 4] nombres harmònics per
∫
0
∞
y
n
−
1
ln
y
e
−
y
d
y
(
n
−
1
)
!
=
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
{\displaystyle {\frac {\int _{0}^{\infty }y^{n-1}\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y}{(n-1)!}}=\psi (n)=H_{n-1}-\gamma \,}
on
H
n
−
1
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
−
1
{\displaystyle H_{n-1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n-1}}}
n – 1)-ésim nombre harmònic.
La funció digamma també satisfà una fórmula de reflexió similar a la de la funció gamma: per a qualsevol nombre complex
z
{\displaystyle z}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
ψ
(
1
−
z
)
−
ψ
(
z
)
=
π
cot
(
π
z
)
.
{\displaystyle \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \,\!\cot {\left(\pi z\right)}.}
Existeixen altres representacions per integrals . Per tant, si la part real de
z
{\displaystyle z}
ψ
(
z
)
=
∫
0
∞
(
e
−
t
t
−
e
−
z
t
1
−
e
−
t
)
d
t
,
{\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}-{\frac {{\rm {e}}^{-zt}}{1-{\rm {e}}^{-t}}}\right)\,{\rm {d}}t,}
que també podem escriure
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
+
∫
0
1
1
−
x
s
1
−
x
d
x
.
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}~{\rm {d}}x.}
[ modifica ] La funció gamma obeeix a l'equació
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}
Prenent la derivada pel que fa a
z
{\displaystyle z}
Γ
′
(
z
+
1
)
=
z
Γ
′
(
z
)
+
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,}
Dividint per
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)}
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle z\Gamma (z)}
Γ
′
(
z
+
1
)
Γ
(
z
+
1
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
+
1
z
{\displaystyle {\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}}
o:
ψ
(
z
+
1
)
=
ψ
(
z
)
+
1
z
{\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}
Atès que els nombres harmònics es defineixen com
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
la funció digamma està relacionada amb ells per:
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }
on
H
n
{\displaystyle H_{n}}
γ
{\displaystyle \gamma }
constant d'Euler-Mascheroni . Per als valors de mig enters, es pot expressar com a
ψ
(
n
+
1
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
+
∑
k
=
1
n
2
2
k
−
1
{\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}
Si la part real de
x
{\displaystyle x}
integral
ψ
(
x
)
=
∫
0
∞
(
e
−
t
t
−
e
−
x
t
1
−
e
−
t
)
d
t
.
{\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}
Això també es pot escriure com
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
+
∫
0
1
(
1
−
x
s
1
−
x
)
d
x
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{s}}{1-x}}\right)\,dx}
que es dedueix de la fórmula integral de Leonhard Euler per als nombres harmònics.
[ modifica ] La funció
ψ
(
z
)
/
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}
[ 5] producte infinit
ψ
(
z
)
Γ
(
z
)
=
−
e
2
γ
z
∏
k
=
0
∞
(
1
−
z
x
k
)
e
z
x
k
.
{\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}
Aquí
x
k
{\displaystyle x_{k}}
ψ
{\displaystyle \psi }
γ
{\displaystyle \gamma }
constant d'Euler-Mascheroni .
La funció digamma es pot calcular al pla complex fora dels enters negatius (Abramowitz i Stegun 6.3.16),[ 1]
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
+
∑
n
=
1
∞
z
n
(
n
+
z
)
z
≠
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }
o
ψ
(
z
)
=
−
γ
+
∑
n
=
0
∞
z
−
1
(
n
+
1
)
(
n
+
z
)
=
−
γ
+
∑
n
=
0
∞
(
1
n
+
1
−
1
n
+
z
)
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right)\qquad z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots }
Això es pot utilitzar per avaluar sumes infinites de funcions racionals , és a dir,
∑
n
=
0
∞
u
n
=
∑
n
=
0
∞
p
(
n
)
q
(
n
)
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}
on
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
q
(
n
)
{\displaystyle q(n)}
n
{\displaystyle n}
Realitzant una fracció parcial
u
n
{\displaystyle u_{n}}
arrels de
q
(
n
)
{\displaystyle q(n)}
u
n
=
p
(
n
)
q
(
n
)
=
∑
k
=
1
m
a
k
n
+
b
k
.
{\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}
Per a la convergència de la sèrie ,
lim
n
→
∞
n
u
n
=
0
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}
en cas contrari la sèrie serà més gran que la sèrie harmònica i, per tant, divergirà. Per tant
∑
k
=
1
m
a
k
=
0
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}
i
∑
n
=
0
∞
u
n
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
1
m
a
k
n
+
b
k
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
1
m
a
k
(
1
n
+
b
k
−
1
n
+
1
)
=
∑
k
=
1
m
(
a
k
∑
n
=
0
∞
(
1
n
+
b
k
−
1
n
+
1
)
)
=
−
∑
k
=
1
m
a
k
(
ψ
(
b
k
)
+
γ
)
=
−
∑
k
=
1
m
a
k
ψ
(
b
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}
Amb el desenvolupament de la sèrie de funció poligamma de rang superior, es pot donar una fórmula generalitzada com
∑
n
=
0
∞
u
n
=
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
1
m
a
k
(
n
+
b
k
)
r
k
=
∑
k
=
1
m
(
−
1
)
r
k
(
r
k
−
1
)
!
a
k
ψ
r
k
−
1
(
b
k
)
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{r_{k}-1}(b_{k}),}
sempre que la sèrie de l'esquerra convergeixi.
[ modifica ] La funció digamma té una sèrie zeta racional , donada per la sèrie de Taylor en
z
=
1
{\displaystyle z=1}
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
ζ
(
k
+
1
)
(
−
z
)
k
,
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-z)^{k},}
que convergeix per a
|
z
|
<
1
{\displaystyle \left\vert z\right\vert <1}
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
funció zeta de Riemann . Aquesta sèrie es deriva fàcilment de la corresponent sèrie de Taylor per a la funció zeta de Hurwitz .
[ modifica ] La sèrie de Newton per a la digamma es desprèn de la fórmula de la integral d'Euler :
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
(
s
k
)
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}}
on
(
s
k
)
{\displaystyle {\binom {s}{k}}}
coeficient binomial :
(
s
k
)
=
s
(
s
−
1
)
(
s
−
2
)
⋯
(
s
−
k
+
1
)
k
!
{\displaystyle {s \choose k}={\frac {s(s-1)(s-2)\cdots (s-k+1)}{k!}}}
La funció digamma satisfà una fórmula de reflexió similar a la de la funció gamma:
ψ
(
1
−
x
)
−
ψ
(
x
)
=
π
cot
π
x
{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}
La funció digamma satisfà la relació de recurrència
ψ
(
x
+
1
)
=
ψ
(
x
)
+
1
x
.
{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}
Per tant, es pot dir «telescopi »
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
Δ
[
ψ
]
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}
on
Δ
{\displaystyle \Delta }
operador de diferència progressiva . Això satisfà la relació de recurrència d'una suma parcial de la sèrie harmònica, el que implica la fórmula
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }
on
γ
{\displaystyle \gamma }
constant d'Euler-Mascheroni .
En general, s'obté
ψ
(
x
+
1
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
∞
(
1
k
−
1
x
+
k
)
.
{\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right).}
En realitat,
ψ
{\displaystyle \psi }
equació funcional
F
(
x
+
1
)
=
F
(
x
)
+
1
x
{\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}
que és monòtona en ℝ+ i satisfà
F
(
1
)
=
−
γ
{\displaystyle F(1)=-\gamma }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
ψ
(
x
+
N
)
−
ψ
(
x
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
1
x
+
k
{\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}
[ modifica ] Existeixen nombroses fórmules de sumes finites per a la funció digamma. Algunes fórmules de sumes finites bàsiques són:
∑
r
=
1
m
ψ
(
r
m
)
=
−
m
(
γ
+
ln
m
)
,
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}
∑
r
=
1
m
ψ
(
r
m
)
⋅
exp
2
π
r
k
i
m
=
m
ln
(
1
−
exp
2
π
k
i
m
)
,
k
∈
Z
,
m
∈
N
,
k
≠
m
.
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
(
r
m
)
⋅
cos
2
π
r
k
m
=
m
ln
(
2
sin
k
π
m
)
+
γ
,
k
=
1
,
2
,
…
,
m
−
1
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
(
r
m
)
⋅
sin
2
π
r
k
m
=
π
2
(
2
k
−
m
)
,
k
=
1
,
2
,
…
,
m
−
1
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
que es deuen a Gauss .[ 6] [ 7]
∑
r
=
0
m
−
1
ψ
(
2
r
+
1
2
m
)
⋅
cos
(
2
r
+
1
)
k
π
m
=
m
ln
(
tan
π
k
2
m
)
,
k
=
1
,
2
,
…
,
m
−
1
{\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
∑
r
=
0
m
−
1
ψ
(
2
r
+
1
2
m
)
⋅
sin
(
2
r
+
1
)
k
π
m
=
−
π
m
2
,
k
=
1
,
2
,
…
,
m
−
1
{\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
(
r
m
)
⋅
cot
π
r
m
=
−
π
(
m
−
1
)
(
m
−
2
)
6
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
(
r
m
)
⋅
r
m
=
−
γ
2
(
m
−
1
)
−
m
2
ln
m
−
π
2
∑
r
=
1
m
−
1
r
m
⋅
cot
π
r
m
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
(
r
m
)
⋅
cos
(
2
ℓ
+
1
)
π
r
m
=
−
π
m
∑
r
=
1
m
−
1
r
⋅
sin
2
π
r
m
cos
2
π
r
m
−
cos
(
2
ℓ
+
1
)
π
m
,
ℓ
∈
Z
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
(
r
m
)
⋅
sin
(
2
ℓ
+
1
)
π
r
m
=
−
(
γ
+
ln
2
m
)
cot
(
2
ℓ
+
1
)
π
2
m
+
sin
(
2
ℓ
+
1
)
π
m
∑
r
=
1
m
−
1
ln
sin
π
r
m
cos
2
π
r
m
−
cos
(
2
ℓ
+
1
)
π
m
,
ℓ
∈
Z
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }
∑
r
=
1
m
−
1
ψ
2
(
r
m
)
=
(
m
−
1
)
γ
2
+
m
(
2
γ
+
ln
4
m
)
ln
m
−
m
(
m
−
1
)
ln
2
2
+
π
2
(
m
2
−
3
m
+
2
)
12
+
m
∑
ℓ
=
1
m
−
1
ln
2
sin
π
ℓ
m
{\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}
es deuen a treballs de certs autors moderns (vegeu per exemple Appendix B de Blagouchine (2014)).[ 8]
Teorema de la digamma de Gauss [ modifica ] Per als nombres enters positius
r
{\displaystyle r}
m
{\displaystyle m}
r
<
m
{\displaystyle r<m}
constant d'Euler-Mascheroni i un nombre finit de funcions elementals
ψ
(
r
m
)
=
−
γ
−
ln
(
2
m
)
−
π
2
cot
(
r
π
m
)
+
2
∑
n
=
1
⌊
m
−
1
2
⌋
cos
(
2
π
n
r
m
)
ln
sin
(
π
n
m
)
{\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}
que es manté, per raó de la seva equació de recurrència, per a tots els arguments racionals.
Segons la fórmula d'Euler-Maclaurin aplicada a[ 9]
∑
n
=
1
x
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}}
la funció digamma per a
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
)
≈
ln
(
x
)
−
1
2
x
−
1
12
x
2
+
1
120
x
4
−
1
252
x
6
+
1
240
x
8
−
5
660
x
10
+
691
32760
x
12
−
1
12
x
14
{\displaystyle \psi (x)\approx \ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {5}{660x^{10}}}+{\frac {691}{32760x^{12}}}-{\frac {1}{12x^{14}}}}
que és el començament del desenvolupament asimptòtic de
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
ψ
(
x
)
∼
ln
(
x
)
−
1
2
x
+
∑
n
=
1
∞
ζ
(
1
−
2
n
)
x
2
n
=
ln
(
x
)
−
1
2
x
−
∑
n
=
1
∞
B
2
n
2
n
x
2
n
{\displaystyle \psi (x)\sim \ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nx^{2n}}}}
on
B
k
{\displaystyle B_{k}}
nombre de Bernoulli i
ζ
{\displaystyle \zeta }
funció zeta de Riemann . Encara que la suma infinita no convergeix per a cap
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
+
1
)
=
1
x
+
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}
es pot utilitzar per canviar el valor de
x
{\displaystyle x}
[ 10]
x
{\displaystyle x}
6
{\displaystyle 6}
x
14
{\displaystyle x^{14}}
Com
x
{\displaystyle x}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
ln
(
x
−
1
/
2
)
{\displaystyle \ln(x-1/2)}
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
x
+
1
{\displaystyle x+1}
x
{\displaystyle x}
ψ
{\displaystyle \psi }
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
ln
(
x
−
1
/
2
)
{\displaystyle \ln(x-1/2)}
ln
(
x
+
1
/
2
)
ln
(
x
−
1
/
2
)
{\displaystyle {\frac {\ln(x+1/2)}{\ln(x-1/2)}}}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
ln
(
1
−
1
/
x
)
{\displaystyle \ln(1-1/x)}
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
x
{\displaystyle x}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
ψ
(
x
)
∈
(
ln
(
x
−
1
2
)
,
ln
x
)
{\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}
o, per a qualsevol
x
{\displaystyle x}
exp
ψ
(
x
)
∈
(
x
−
1
2
,
x
)
.
{\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}
L'exponencial
exp
ψ
(
x
)
{\displaystyle \exp \psi (x)}
x
−
1
/
2
{\displaystyle x-1/2}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
0
{\displaystyle 0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Per
x
<
1
{\displaystyle x<1}
1
{\displaystyle 1}
2
{\displaystyle 2}
ψ
(
x
)
∈
[
−
γ
,
1
−
γ
]
{\displaystyle \psi (x)\in [-\gamma ,1-\gamma ]}
ψ
(
x
)
∈
(
−
1
x
−
γ
,
1
−
1
x
−
γ
)
,
x
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}
o
exp
ψ
(
x
)
∈
(
exp
(
−
1
x
−
γ
)
,
e
exp
(
−
1
x
−
γ
)
)
.
{\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}
A partir de la sèrie asimptòtica anterior per
ψ
{\displaystyle \psi }
exp
(
−
ψ
(
x
)
)
{\displaystyle \exp(-\psi (x))}
1
exp
ψ
(
x
)
∼
1
x
+
1
2
⋅
x
2
+
5
4
⋅
3
!
⋅
x
3
+
3
2
⋅
4
!
⋅
x
4
+
47
48
⋅
5
!
⋅
x
5
−
5
16
⋅
6
!
⋅
x
6
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }
Això és similar al desenvolupament de la sèrie de Taylor
(
−
ψ
(
1
/
y
)
)
{\displaystyle (-\psi (1/y))}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
exp
ψ
(
x
)
{\displaystyle \exp \psi (x)}
exp
ψ
(
x
)
∼
x
−
1
2
.
{\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}
Si es calcula la sèrie asimptòtica per a
exp
ψ
(
x
+
1
/
2
)
{\displaystyle \exp \psi (x+1/2)}
x
{\displaystyle x}
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
exp
ψ
(
x
+
1
2
)
∼
x
+
1
4
!
⋅
x
−
37
8
⋅
6
!
⋅
x
3
+
10313
72
⋅
8
!
⋅
x
5
−
5509121
384
⋅
10
!
⋅
x
7
+
⋯
{\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }
La funció digamma té valors en forma tancada per a nombres racionals, com a resultat del teorema de la digamma de Gauss. Alguns es detallen a continuació:
ψ
(
1
)
=
−
γ
ψ
(
2
)
=
H
1
−
γ
=
1
−
γ
ψ
(
3
)
=
H
2
−
γ
=
3
2
−
γ
ψ
(
4
)
=
H
3
−
γ
=
11
6
−
γ
ψ
(
1
2
)
=
−
2
ln
2
−
γ
=
1
π
∫
0
∞
y
−
1
/
2
ln
y
e
−
y
d
y
ψ
(
1
3
)
=
−
π
2
3
−
3
ln
3
2
−
γ
ψ
(
1
4
)
=
−
π
2
−
3
ln
2
−
γ
ψ
(
1
6
)
=
−
π
3
2
−
2
ln
2
−
3
ln
3
2
−
γ
ψ
(
1
8
)
=
−
π
2
−
4
ln
2
−
π
+
ln
(
2
+
2
)
−
ln
(
2
−
2
)
2
−
γ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi (2)&=H_{1}-\gamma =1-\gamma \\\psi (3)&=H_{2}-\gamma ={\frac {3}{2}}-\gamma \\\psi (4)&=H_{3}-\gamma ={\frac {11}{6}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }y^{-1/2}\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y\\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}
A més, per la representació de la sèrie, es pot deduir fàcilment que la unitat imaginària ,
Re
ψ
(
i
)
=
−
γ
−
∑
n
=
0
∞
n
−
1
n
3
+
n
2
+
n
+
1
,
Im
ψ
(
i
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
2
+
1
=
1
2
+
π
2
coth
π
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \psi (i)&=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}},\\[8px]\operatorname {Im} \psi (i)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\pi }{2}}\coth \pi .\end{aligned}}}
Les arrels de la funció digamma són els punts de la cadira de muntar de la funció gamma de valors complexos. Així, es troben tots a l'eix real . L'únic en l'eix real positiu és l'únic valor mínim de la funció gamma de valors reals en ℝ + 0 = 1,461632144968 ... Tots els altres tenen lloc entre els pols de l'eix negatiu:
x
1
=
−
0.504
083
008
…
,
x
2
=
−
1.573
498
473
…
,
x
3
=
−
2.610
720
868
…
,
x
4
=
−
3.635
293
366
…
,
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=-0.504\,083\,008\ldots ,\\x_{2}&=-1.573\,498\,473\ldots ,\\x_{3}&=-2.610\,720\,868\ldots ,\\x_{4}&=-3.635\,293\,366\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{aligned}}}
Al voltant de 1881, Charles Hermite va observar que[ 11]
x
n
=
−
n
+
1
ln
n
+
O
(
1
(
ln
n
)
2
)
{\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}
es manté asimptòticament. Es proporciona una millor aproximació de la ubicació de les arrels
x
n
≈
−
n
+
1
π
arctan
(
π
ln
n
)
n
≥
2
{\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}
i utilitzant un terme addicional, es torna encara millor
x
n
≈
−
n
+
1
π
arctan
(
π
ln
n
+
1
8
n
)
n
≥
1
{\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}
que tant surt en la fórmula de reflexió a través de
0
=
ψ
(
1
−
x
n
)
=
ψ
(
x
n
)
+
π
tan
π
x
n
{\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}
i substituint
ψ
(
x
n
)
{\displaystyle \psi (xn)}
1
/
2
n
{\displaystyle 1/2n}
n
{\displaystyle n}
Es pot donar una altra millora amb el polinomi d'Hermite :[ 5]
x
n
=
−
n
+
1
log
n
−
1
2
n
(
log
n
)
2
+
O
(
1
n
2
(
log
n
)
2
)
.
{\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}
Pel que fa als zeros, István Mező i Michael Hoffman han demostrat recentment les següents identitats de suma infinita:[ 5]
∑
n
=
0
∞
1
x
n
2
=
γ
2
+
π
2
2
,
∑
n
=
0
∞
1
x
n
3
=
−
4
ζ
(
3
)
−
γ
3
−
γ
π
2
2
,
∑
n
=
0
∞
1
x
n
4
=
γ
4
+
π
4
9
+
2
3
γ
2
π
2
+
4
γ
ζ
(
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}
En general, la funció
Z
(
k
)
=
∑
n
=
0
∞
1
x
n
k
{\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}
es pot determinar i és estudiat en detall pels autors citats.
Els resultats següents[ 5]
∑
n
=
0
∞
1
x
n
2
+
x
n
=
−
2
,
∑
n
=
0
∞
1
x
n
2
−
x
n
=
γ
+
π
2
6
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}
també és veritat.
Aquí
γ
{\displaystyle \gamma }
constant d'Euler-Mascheroni .
La funció digamma apareix en la regularització d'integrals divergents
∫
0
∞
d
x
x
+
a
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}
aquesta integral pot ser aproximada per una sèrie harmònica general divergent, però es pot adjuntar el següent valor a la sèrie
∑
n
=
0
∞
1
n
+
a
=
−
ψ
(
a
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}
↑ 1,0 1,1
«6.3 psi (Digamma) Function.». A: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
↑ Weisstein , Eric W.«Digamma function» a MathWorld (en anglès).↑ (anglès) Historique de la fonction digamma sur le site de Wolfram Research .↑ És un cas de la notació particular
ψ
k
n
{\displaystyle \psi _{k}{n}}
↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Mező , István; Hoffman , Michael E. «Zeros of the digamma function and its Barnes G -function analogue». Integral Transforms and Special Functions , 28, 2017, pàg. 846-858. DOI : 10.1080/10652469.2017.1376193 .↑ R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Paris, 1966.
↑ H.M. Srivastava and J. Choi. Series Associated with the Zeta and Related Functions , Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.
↑ Blagouchine , Iaroslav V. «A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations ». Journal of Number Theory . Elsevier, 148, 2014, pàg. 537–592. arXiv : 1401.3724 . DOI : 10.1016/j.jnt.2014.08.009 .↑ Bernardo , José M. «Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation ». Applied Statistics , 25, 1976, pàg. 315–317.↑ Matthew J. , Beal «Variational Algorithms for Approximate Bayesian Inference » (PhD thesis) (en anglès). The Gatsby Computational Neuroscience Unit [University College London], 2003, pàg. 265–266.↑ Hermite , Charles «Sur l'intégrale Eulérienne de seconde espéce,». Journal für die reine und angewandte Mathematik , 90, 1881, pàg. 332-338. 
={\frac {1}{x}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f937d04ca5581f9bf986c18bf170bdc9b376cc8)
![{\displaystyle \psi (x)\in [-\gamma ,1-\gamma ]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ff92364e36790753eea2ae955e6e149fa679b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \psi (i)&=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}},\\[8px]\operatorname {Im} \psi (i)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\pi }{2}}\coth \pi .\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ceead1aa44b6a1afacb8775cb14abdb9e243372)
