Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna zbioru, funkcja wskaźnikowa, indykator zbioru – niech $A$ będzie dowolnym zbiorem, zaś $B$ jego podzbiorem, $B\subseteq A.$ Funkcją charakterystyczną zbioru $B$ nazywa się funkcję rzeczywistą $f\colon A\longrightarrow \{0,1\}$ określoną następującym wzorem:

$f(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}x\in B,\\0,&{\mbox{gdy }}x\notin B.\end{cases}}$

Oznaczeniem funkcji charakterystycznej zbioru $B\subseteq A$ jest $\mathbf {1} _{B,A},\ \mathbf {I} _{B,A},\ \chi _{B,A},\ \mathbf {1} _{B},\ \mathbf {I} _{B}$ bądź $\chi _{B}.$

Funkcje charakterystyczne mają zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych.

Przykłady

• Funkcja Dirichleta $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }$ zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ jest funkcją nieciągłą w każdym punkcie dziedziny.
• Jeśli $f\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to ciąg

$\left({\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=1}^{n2^{n}}\chi _{\{x\in A\colon f(x)>k/2^{n}\},A}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

jest punktowo zbieżny do $f.$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna w rachunku prawdopodobieństwa

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Characteristic Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Characteristic function of a set (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].