Funzione di variabile complessa

In matematica, si definisce funzione di variabile complessa una funzione definita su un sottoinsieme dei numeri complessi a valori in quello stesso insieme. In genere la variabile complessa si denota con $z$ , la sua parte reale con $x$ e la sua parte immaginaria con $y$ , in modo che si possa scrivere $z=x+iy$ .

Descrizione

Una funzione di variabile complessa $f(z)$ corrisponde a una legge che associa in modo univoco a un punto $z$ di un sottoinsieme del piano complesso, il dominio della funzione, un punto che può considerarsi appartenere a un sottoinsieme di un secondo piano complesso che costituisce il codominio della funzione. Esplicitando la variabile $z=x+iy$ dentro l'espressione della funzione complessa $f(z)$ è possibile scrivere l'espressione della funzione complessa nella forma

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

ove le funzioni di due variabili reali $u$ e $v$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria della funzione complessa $f(z)$ .

È interessante notare come nel campo complesso le funzioni trigonometriche sono esprimibili in termini della funzione esponenziale e della logaritmica.

In campo fisico, una funzione di variabile complessa può essere considerata la funzione d'onda $\Psi (x,t)$ , utile in meccanica quantistica e presente, tra l'altro, nell'equazione di Schrödinger. Sempre in meccanica quantistica, non è tanto rilevante la funzione complessa $\Psi (x,t)$ , (poiché, producendo numeri immaginari, non può rappresentare grandezze fisiche), ma è rilevante il suo valore assoluto, elevato al quadrato $|\Psi (x,t)|^{2}$

Le più utili e interessanti tra le funzioni di variabile complessa sono le funzioni olomorfe, cioè, secondo la definizione di Cauchy, le funzioni dotate di una funzione derivata prima e con derivata prima continua. Le condizioni che garantiscono la derivabilità di una funzione di variabile complessa sono dette condizioni di Cauchy-Riemann o condizioni di monogeneità, ovviamente per l'esistenza delle derivate parziali è richiesta la differenziabilità. Da una funzione olomorfa si ottiene, mediante operazioni di prolungamento analitico una funzione analitica, entità che è da considerare una funzione multivoca; le condizioni di monogeneità, di conseguenza, sono chiamate anche condizioni di analiticità.

Fra le risorse gratuite presenti in Internet, esistono dei disegnatori di funzioni complesse, e programmi gratuiti che funzionano off-line.

Per lo studio di funzioni complesse, il disegno di grafici tridimensionali può essere un valido strumento per interpretare visivamente le funzioni meno comuni.

Esempi

Segue un elenco delle principali funzioni di variabile complessa, che in effetti, ad esclusione delle prime 5, sono funzioni olomorfe.

parte reale: $\Re \ z=x$
parte immaginaria: $\Im \ z=y$
complesso coniugato: ${\bar {z}}=x-iy$
argomento: ${\mbox{arg}}\ z={\mbox{atan}}{\frac {y}{x}}$
modulo: $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}$
esponenziale: $e^{iy}=\cos y+i\sin y{\frac {}{}}$
logaritmo principale: $\ln z=\ln |z|+i\arg z+i2k\pi \ ~~\forall k\in \mathbb {Z}$
radice: ${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \left(\cos {\frac {z}{n}}+i\sin {\frac {z}{n}}\right){\frac {}{}}$
seno: $\sin z={\frac {1}{2i}}(e^{iz}-e^{-iz})$
coseno: $\cos z={\frac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})$
tangente: $\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}$
cotangente: $\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}$
secante: $\sec z={\frac {1}{\cos z}}$
cosecante: $\csc z={\frac {1}{\sin z}}$
arcoseno: ${\mbox{arcsin}}z=i\cdot \ln \left(-iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)+2k\pi \ k\in \mathbb {Z}$
arcocoseno: ${\mbox{arccos}}z=\mp \ i\cdot \ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)+2k\pi \ k\in \mathbb {Z}$
arcotangente: ${\mbox{arctan}}z={\frac {i}{2}}\ln {\frac {i+z}{i-z}}$
seno iperbolico: $\sinh z={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})$
coseno iperbolico: $\cosh z={\frac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})$
tangente iperbolica: $\tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}}$
cotangente iperbolica: $\coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}$
secante iperbolica: ${\mbox{sech}}z={\frac {1}{\cosh z}}$
cosecante iperbolica: ${\mbox{csch}}z={\frac {1}{\sinh z}}$
settore seno iperbolico: ${\mbox{settsinh}}z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right)$
settore coseno iperbolico: ${\mbox{settcosh}}z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$
settore tangente iperbolica: ${\mbox{setttanh}}z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}}$