Granica i kogranica

Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu) czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.

Definicje

Diagram prezentujący warunki zgodności i uniwersalności.

Granice w kategorii ${\mathcal {C}}$ definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w ${\mathcal {C}}.$ Granicą diagramu $F\colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {C}}$ nazywa się dowolny obiekt $L$ kategorii ${\mathcal {C}}$ wraz z morfizmami $\phi _{i}\colon L\to F(i)$ dla każdego obiektu $i$ kategorii ${\mathcal {I}}$ spełniający następujące warunki:

• zgodność,

  dla każdego morfizmu $f\colon i\to j$ w ${\mathcal {I}}$ zachodzi równość $F(f)\circ \phi _{i}=\phi _{j};$

• uniwersalność,

  dla dowolnego innego obiektu $L'$ wraz z rodziną morfizmów $\psi _{i}\colon L'\to F(i)$ spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm $u\colon L'\to L,$ że dla każdego $i$ zachodzi $\psi _{i}=\phi _{i}\circ u.$

Obiekty $N$ wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem $F.$ Stożki nad ustalonym diagramem w ${\mathcal {C}}$ tworzą kategorię, w której morfizmy $u\colon M\to N$ tej kategorii między pewnymi stożkami $(M,\phi _{i})$ spełniają $\psi _{i}=\phi _{i}\circ u.$ Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kogranicę w kategorii ${\mathcal {C}}$ można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej ${\mathcal {C}}^{*},$ bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.

Bibliografia

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Wyd. 2nd ed. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8. Brak numerów stron w książce