Harmonikus közép

Véges sok pozitív szám harmonikus közepe a számok reciprokaiból számított számtani közép reciproka. A harmonikus közepet általában H betűvel jelöljük.

$H(a_{1};...;a_{n})={\frac {1}{\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Az elnevezés onnan adódik, hogy a harmonikus sorban:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots$

a másodiktól kezdve minden tag a két szomszédjának harmonikus közepe.

Kapcsolata más közepekkel

A harmonikus közép, miként a számtani és a mértani közép, a hatványközepek egy speciális példája. Nevezetesen, a harmonikus közép a (-1)-hez tartozó hatványközép. Több szám harmonikus közepe inkább a kisebb számok felé húz; ezzel a nagy számok hatása csökken, a kis számoké megnő. Sokszor tévesen a számtani közepet használják olyan esetekben, amik harmonikus közepet kívánnak, de az nem ad pontos eredményt, az túl nagy lesz, és csak felső becslésnek jó. A lenti sebességpéldában a számtani közép 50-et ad, holott a pontos érték 48.

Két szám harmonikus közepe

Geometriai szerkesztés, két szám, a és b pitagoraszi közepeire. H a harmonikus közép püspöklilával. Q a négyzetes közép. Mivel az átfogó mindig hosszabb, mint a derékszögű háromszög befogója, a diagram mutatja a Q > A > G > H egyenlőtlenséget is.

$H(a;b)={\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}={\frac {2}{\frac {a+b}{a\cdot b}}}={\frac {2ab}{a+b}}$

Két szám harmonikus közepét ez utóbbi alakban szoktuk felírni.

Ha az a és b pozitív számok számtani közepét $A=(a+b)/2$, mértani közepét $G={\sqrt {ab}}$ jelöli, akkor felírhatók az alábbi összefüggések:

$H={\frac {G^{2}}{A}}$

és

$G={\sqrt {AH}},$

továbbá

$H\leqslant G\leqslant A.$

Ez az utóbbi egyenlőtlenség több pozitív szám közepeire is érvényes. Ha az adott pozitív számok halmaza nem üres, és minden eleme egyenlő, akkor ez az egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül.

Három szám harmonikus közepe

Három pozitív szám, H, G, és A akkor és csak akkor harmonikus, mértani és számtani közepei három számnak, ha:

${\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.$

Akárhány szám harmonikus közepe

Az $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ pozitív valós számok harmonikus közepe:

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}\right)^{-1}.$

A harmadik képlet a harmonikus közepet úgy fejezi ki, hogy a reciprokok számtani közepének reciproka.

A következő képlet jobban megmutatja a harmonikus közép kapcsolatát a számtani és a mértani középpel:

$H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.$

azaz a harmonikus közép pozitív valós számokra a számtani reciprokos duálisa:

$1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})$

A harmonikus közép Schur-konkáv, és a minimum dominálja. Ez azt jelenti, hogy ha adva vannak az argumentumok, akkor: $\min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})$ Tehát ahhoz, hogy a harmonikus közép nem válik akármilyen naggyá, ha legalább az egyik argumentum a régi értékén marad. Emiatt csökkenti a nagy kilógó adatok hatását, és megnöveli a kis kilógókét. Ha nem egyenlő adatok közül úgy változtatunk néhányat, hogy számtani közepük megmaradjon, akkor harmonikus közepük csökken.

A harmonikus közép a hatványközepek közül a mínusz egyedik:

$H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=M_{-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}$

Néha a számtani közepet tévesen használják harmonikus közép helyett. Ez csak felső becslésnek jó.

Több szám esetén is teljesül ez az összefüggés:

$H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {(G(x_{1},\ldots ,x_{n}))^{n}}{A(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})}}={\frac {(G(x_{1},\ldots ,x_{n}))^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.$

Itt a nevezőben a szorzatokban az egyik tényező mindig kimarad. A számlálóban a mértani közép az n-edik hatványon van.

Súlyozott harmonikus közép

Legyenek $x_{1}$, ..., $x_{n}$ a megadott számok, és adva legyenek rendre a $w_{1}$, ..., $w_{n}$ súlyok. Ekkor az $x_{1}$, ..., $x_{n}$ számok harmonikus közepe a $w_{1}$, ..., $w_{n}$ súlyok szerint:

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}.$

A közönséges harmonikus közép akkor adódik, ha minden súly 1.

Fizikai alkalmazásai

Ellenállások

Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője a két ellenállás harmonikus közepének a fele. Például egy 40Ω-os és egy 60Ω-os ellenállás helyettesíthető két 48Ω-os ellenállással, amik együtt egy 24Ω-os ellenállásnak felelnek meg.

A sorba kapcsolt ellenállások ellenben a számtani közepüknek megfelelő ellenállással helyettesíthetők, és az eredő ellenállás az ellenállások összege lesz.

Átlagsebesség

A harmonikus közepet a fizikában többek között átlagsebesség kiszámítására használhatjuk, ha az adott sebességekkel ugyanannyi utakat tettünk meg.

Ha egy jármű két pont közötti utat n-szer rendre $v_{1};v_{2};...;v_{n}$ sebességekkel tette meg, akkor az átlagsebesség ezen sebességek harmonikus közepe: $H(v_{1};...;v_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{v_{1}}}+...+{\frac {1}{v_{n}}}}}$

Bizonyítás

Legyen a két pont távolsága $s$, és az út megtételéhez szükséges idők rendre $t_{1};t_{2};...;t_{n}$. Ekkor az átlagsebesség definíciója szerint:

$v_{{\acute {a}}tlag}={\frac {n\cdot s}{t_{1}+t_{2}+...+t_{n}}}$

Minden $i$-re ($i\leq n;i\in \mathbb {Z^{+}}$) $t_{i}={\frac {s}{v_{i}}}$, ezért

$v_{{\acute {a}}tlag}={\frac {n\cdot s}{{\frac {s}{v_{1}}}+{\frac {s}{v_{2}}}+...+{\frac {s}{v_{n}}}}}$

$s$-sel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy

$v_{{\acute {a}}tlag}={\frac {n}{{\frac {1}{v_{1}}}+...+{\frac {1}{v_{n}}}}}$

Biológiai alkalmazások

A populációbiológiában használatos effektív populációméret ($N_{e}$) kiszámításához alkalmazható a harmonikus közép. Ingadozó méretű populációk esetén a populáció effektív mérete reciproka a populáció nagyságok harmonikus közepével adható meg, amennyiben a generációk nem-átfedők.

${\frac {1}{N_{e}}}={\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}{\frac {1}{N_{i}}}$

Pénzügyi alkalmazásai

A harmonikus közepet arányok átlagolásához használják. A számtani közép a két adatsor közül nagyobb súlyt juttatna a kisebbnek; a harmonikus közép viszont minden adatot ugyanolyan súllyal tekint, akármelyik adatsorból való is légyen.

Alkalmazások más területeken

A hidrológiában a különböző áteresztőképességű rétegekre merőleges áteresztőképesség az áteresztőképességek harmonikus közepe. A rétegekkel párhuzamos áteresztőképesség azonban a számtani középpel számítható.

Az üzemanyag-felhasználást rendszerint két mértékegységben mérik: a mérföld per gallonban (mpg), és a liter per 100 kilométerben. Az egyik mértékegységben kifejezett átlagos üzemanyag-felhasználások kifejezhetők a megfelelő szorzóval és az üzemanyag-felhasználások harmonikus közepével.

A harmonikus közép az együttes munkavégzés idejének kiszámításához is felhasználható. Példa: Egy medencét két csap külön-külön négy, illetve hat óra alatt tölt fel. Mennyi idő alatt tölti fel a két csap együtt? A válasz: (6 · 4)/(6 + 4) óra, azaz 2,4 óra alatt töltik fel együtt.

A statisztikai kétmintás t-próbában, amikor is azt kell eldönteni két adatsorról, hogy ugyanaz-e a várható érték, akkor a t statisztika képletében szerepel egy ${\sqrt {\frac {mn}{m+n}}}$ szorzó, ahol m és n a két minta elemszáma.

Források

• Harmonikus közép a MathWorldnál
• Különféle közepek a cut-the-knotnál