Homologia

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.

Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.

Yleinen rakennelma

Olkoon $X$ avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi $A$, joka sisältää jotain tietoa $X$:stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja

$\ldots A_{n+1}\to A_{n}\ldots A_{2}\to A_{1}\to A_{0}$,

missä $d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}$ ja $d_{n}\circ d_{n+1}=0$, niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että $Im(d_{n+1})\subset Ker(d_{n})$, ja voidaan rakentaa tekijäryhmä $Ker(d_{n})/Im(d_{n+1})$, jonka sanotaan olevan $n$. homologiaryhmä $X$:stä.

Singulaarinen homologia

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi $n$-simpleksi $\Sigma _{n}$ on joukko vektoreita $n$-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa

$\Sigma _{n}=\{(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\sum _{i}\lambda _{i}\leq 1,\lambda _{i}\geq 0\},$

ja $n$-simpleksi $\sigma$ topologisessa avaruudessa $X$ on jatkuva kuvaus $\Sigma _{n}$:stä $X$:ään:

$\sigma :\Sigma _{n}\to X.$

$\sigma$:n reuna $d\sigma$ on määritelty formaaliksi summaksi $\sigma$ rajoitettu $\Sigma _{n}$:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos $X$ on viiva $[0,1]$, niin silloin $\Sigma _{1}\subset X$ ja $d\Sigma _{1}=(1)-(0)$. Olkoon $\Lambda$ rengas. Tällöin voidaan konstruoida $\Lambda$-moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki $n$-simpleksejä $X$:ssä $C_{n}$. Nyt meillä on $\Lambda$-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta $Im(d_{n+1})$ sanotaan $n$-reunoiksi $B_{n}$ ja kuvausta $Ker(d_{n})$ sanotaan $n$-sykleiksi $Z_{n}$. $X$:n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten $Z_{*}/B_{*}$ (eli $H_{n}=Z_{n}/B_{n}$ jokaiselle $n$:lle).

Eksakteja jonoja

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono

$\ldots (\alpha :)A\to (\beta :)B\to C\ldots$,

missä $Im(\alpha )=Ker(\beta )$. Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

$0\to A\to 0,$

eli $A=0$;

$0\to A\to B\to 0,$

eli $A$ ja $B$ ovat isomorfisia.

Jos $A_{*}$, $B_{*}$, ja $C_{*}$ ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono

$0\to A_{*}\to B_{*}\to C_{*}\to 0$

eli

$0\to A_{n}\to B_{n}\to C_{n}\to 0$

jokaiselle $n$:lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

$\ldots H_{n+1}(C)\to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\ldots .$

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

Kategorinen näkökulma

Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna $H_{*}$ on kovariantti funktori. Siis jos $X$ ja $Y$ ovat samassa kategoriassa ${\mathcal {A}}$, ja $f:X\to Y$ on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa $H_{*}(f)$ vie $H_{*}(X)$:n $H_{*}(Y)$:iin. Usein $H_{*}(f)$ kirjoitetaan $f_{*}$.

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan. Jos $\sum _{i=1}^{n}a_{n}\sigma _{i}$ on ketju jossain topologisessa avaruudessa $X$, ja $f:X\to Y$ on jatkuva kuvaus, niin summa $\sum _{i=1}^{n}a_{n}f\circ \sigma _{i}$ on ketju $Y$:ssä. Näin $f$:stä tule homomorfismi $f_{*}:H_{*}(X)\to H_{*}(Y)$.

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori $H^{*}$ on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

Kirjallisuutta

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 874–876. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6

Aiheesta muualla

• Allen Hatcher: Algebraic Topology