Intégrale de Cauchy

L'intégrale de Cauchy est une intégrale qui fait le lien entre l'intégrale de Riemann, classique mais à variables réelles, et les variables complexes.

Chemin

Une courbe dans X est une application continue $\gamma :[\alpha ,\beta ]\rightarrow X,\alpha <\beta \in \mathbb {R}$. On appelle $[\alpha ,\beta ]$ l’intervalle de paramétrage de γ, et on note $\gamma ^{*}$ l’image de l’application.

Si $\gamma (\alpha )=\gamma (\beta )$, la courbe est dite fermée.

Un chemin γ est une courbe du plan complexe muni de sa topologie euclidienne, continûment dérivable par morceaux.

Un chemin fermé est une courbe fermée qui est aussi un chemin.

Définition de l'intégrale

En considérant un chemin γ et $f:\gamma ^{*}\rightarrow \mathbb {C}$, une fonction continue, on définit l'intégrale de Cauchy de f sur le chemin γ comme le nombre complexe :

$\int _{\gamma }f(z)dz:=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt$

Cette intégrale est bien définie au sens de Riemann.