Integrală de volum

În analiza matematică, în special în cea cu variabile multiple^⁠(d), o integrală de volum (∭) este o integrală peste un domeniu tridimensional, adică este un caz particular de integrale multiple. Integralele de volum sunt deosebit de importante în fizică pentru multe aplicații, de exemplu, pentru a calcula densitățile fluxurilor sau pentru a calcula masa dintr-o funcție de densitate corespunzătoare.

În coordonate

Poate însemna și o integrală triplă într-o regiune $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ a unei funcții $f(x,y,z),$ și se scrie de obicei ca:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

O integrală de volum în coordonate polare este

$\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,$

iar o integrală de volum în coordonate sferice (folosind convenția ISO pentru unghiuri cu unghiul azimutal $\varphi$ și unghiul zenital $\theta$ (măsurat față de axa polară) are forma

$\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Exemple

Integrarea ecuației $f(x,y,z)=1$ peste un cub unitate dă următorul rezultat:

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1$

Deci volumul cubului unitate este 1 așa cum era de așteptat. Acest lucru este însă destul de banal, iar o integrală de volum este mult mai puternică. De exemplu, dacă avem o funcție scalară de densitate pe cubul unitate, atunci integrala de volum va da masa totală a cubului. De exemplu, pentru funcția densității:

${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}$

masa totală a cubului este:

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}.$

Alt exemplu: coordonatele centrului de masă ale unui corp $V\subset \mathbb {R} ^{3}$ cu densitatea $\rho (x,y,z)$ se pot calcula cu relațiile:

$x_{G}={\frac {1}{M}}\iiint _{V}x\cdot \rho (x,y,z)\ dx\,dy\,dz,$

$y_{G}={\frac {1}{M}}\iiint _{V}y\cdot \rho (x,y,z)\ dx\,dy\,dz,$

$z_{G}={\frac {1}{M}}\iiint _{V}z\cdot \rho (x,y,z)\ dx\,dy\,dz,$

unde M este masa corpului.

Bibliografie

• Alexandra Ciupa, Adrian Holhoș, Calcul integral: Culegere de probleme, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2011, Cap. 5: Integrale de volum, accesat 2024-04-04

Vezi și

• Integrală de suprafață
• Element de volum

Legături externe

• en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Multiple integral”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 

• en Eric W. Weisstein, Volume integral la MathWorld.