Inversa elemento

Inversa elemento aŭ inverso estas ĝeneraligo de inverso de nombro.

(S, $\diamondsuit$) estu magmo (t.e. aro S kun interna duvalenta operacio $\diamondsuit$) kun neŭtrala elemento $e$. Elemento x nomiĝas inversa elemento por elemento y, se validas du kondiĉoj:

1. $x\;\diamondsuit \;y=e$,
2. $y\;\diamondsuit \;x=e$.

Se por la operacio $\diamondsuit$ oni uzas simbolon $+,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor$ kaj ĝi havas adician karakteron, tiam la inversan elementon oni nomas kontraŭa elemento, simbole: $-x$.

Por inversa elemento de miltiplikecaj operacioj $*,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star$ oni kutime uzas notacion $x^{-1}$.

Unuflanka inversa elemento

Se estas plenumita nur unu el la supraj kondiĉojn, tiam oni parolas pri maldekstra inversa elemento (unua kondiĉo) kaj dekstra inversa elemento (dua kondiĉo).

Rimarku: elemento povas havi multajn diversajn (mal)dekstrajn inversojn. Tamen se la operacio estas asocia kaj elemento x havas kaj maldekstran kaj dekstran inversojn, tiam ili estas egalaj, t.e. la elemento x havas unikan inverson.

Ekzemploj

• Se la koncerna operacio estas adicio de realaj nombroj, a elemento inversa al nombro $2$ estas nombro $-2$. Ĉar: $2+(-2)=0$ kaj $(-2)+2=0$ (nulo estas neŭtrala elemento rilate al adicio).
• Se la koncerna operacio estas multiplikado de realaj nombroj, tiam inversa elemento kontraŭ $2$ estas $1 \over 2$, ĉar $2\cdot {1 \over 2}={1 \over 2}\cdot 2=1$ (unu estas neŭtrala elemento rilate al multiplikado).

La lasta ekzemplo pruvas, ke ne por ĉiu elemento nepre ekzistas inversa elemento: la nombro nulo ne havas inversan elementon rilate al multiplikado.