Rodriguez werd op elfjarige leeftijd opgenomen in de jeugdopleiding van Burnley, de club uit zijn geboortestad. Daarvoor tekende hij in 2007 zijn eerste profcontract. Rodriguez debuteerde op 29 december 2007 voor de hoofdmacht van het team dat destijds actief was in de Championship, tegen Bristol City. In 2008 werd hij voor enkele maanden uitgeleend aan Stirling Albion. In 2010 werd hij opnieuw enkele maanden uitgeleend, ditmaal aan Barnsley. In vijf seizoenen scoorde Rodriguez 31 doelpunten in 108 wedstrijden voor The Clarets.
Op 10 juni 2012 tekende Rodriguez een vierjarig contract bij dan het pas naar de Premier League gepromoveerde Southampton. The Saints legden een bedrag van 7 miljoen pond (ongeveer 8,5 miljoen euro) op tafel voor hem. Hij maakte zijn Premier League-debuut op 19 augustus 2012 op de openingsspeeldag van het nieuwe seizoen, tegen Manchester City. Hij werd na 55 minuten vervangen door Rickie Lambert. Op 25 september 2012 scoorde Rodriguez zijn eerste twee doelpunten voor Southampton, in de League Cup tegen Sheffield Wednesday. Op 28 oktober 2012 scoorde hij de aansluitingstreffer in de met 1-2 verloren thuiswedstrijd van Tottenham Hotspur. Zijn tweede competitiedoelpunt scoorde hij op 29 december 2012 tegen Stoke City. Op 5 januari 2013 scoorde hij in de FA Cup, tegen Chelsea.
Rodríguez ging op 5 april 2014 met een brancard van het veld tijdens een wedstrijd tegen Manchester City. Hij bleek een kruisband te hebben gescheurd en miste zowel het WK 2014 als het volledige seizoen 2014/15. Rodríguez maakte op 9 augustus 2015 zijn officiële rentree, tijdens de eerste speelronde van de Premier League 2015/16. Die dag begon hij in de basis bij Southampton tijdens een wedstrijd die in 2-2 eindigde uit bij Newcastle United.
Op 7 november 2013 werd Rodriguez voor het eerst opgeroepen voor Engeland, voor vriendschappelijke oefeninterlands tegen Chili en Duitsland. Zijn toenmalige ploeggenoten Adam Lallana en Rickie Lambert behoorden ook tot de selectie. Hij debuteerde voor Engeland op 15 november 2013 tegen Chili. Hij startte in de basiself en werd na 57 minuten gewisseld voor Andros Townsend. Engeland verloor met 0-2 na twee doelpunten van Alexis Sánchez.