Ugrás a tartalomhoz

Közönséges differenciálegyenlet

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A közönséges differenciálegyenlet (KDE, angolul ODE) olyan differenciálegyenlet, amely egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva.

Egy olyan F(x, y, y′, y″, y‴, ..., y(n)) = 0 függvényegyenlet,[1] ahol az F függvény argumentumában az x független változó mellett egy ismeretlen y(x) függvény deriváltjai is megjelennek. A megoldásokat az olyan y(x) függvények jelentik, amelyeknél F minden x-re nullát vesz fel.

Gyakran használják dinamikus jelenségek modellezésekor, amikor is a független változó a t-vel jelölt idő.

Csoportosításuk

[szerkesztés]

Rend szerint

[szerkesztés]
  • n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Példák:
elsőrendű,
másodrendű,
negyedrendű.

Függvénytípus szerint

[szerkesztés]
  • Lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példák:
elsőrendű lineáris,
másodrendű lineáris.
Ezen belül lehet homogén vagy inhomogén, illetve lehet állandó együtthatójú vagy nem állandó együtthatójú.
Homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő, sem konstans tag. Példák:
elsőrendű homogén lineáris,
másodrendű homogén lineáris.
Inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példák:
elsőrendű inhomogén lineáris,
másodrendű inhomogén lineáris.
Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az egyenletben y-nak és összes deriváltjának az együtthatója konstans. Példák:
elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris (ez a legegyszerűbb típus),
másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.
  • Nemlineáris, ha nem lineáris. Példák:
,
.

Néhány specialitás

[szerkesztés]

Bernoulli-féle differenciálegyenlet

[szerkesztés]

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

alakú, ahol n ismert természetes szám (n ≠ 0, 1), p(x) és r(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

[szerkesztés]

A Riccati-féle differenciálegyenlet

alakú, ahol p(x), r(x) és h(x) ismert függvények.

Ez egy közönséges egyismeretlenes elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

[szerkesztés]

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

,

ahol r(x) ismert függvény, és pedig ismert állandók.

Megoldásuk

[szerkesztés]

A megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.[2] Analitikusan a megoldás lehet általános vagy partikuláris, illetve reguláris vagy szinguláris. Alkalmazásokban gyakran numerikusan megoldásokat keresnek, például a Runge–Kutta-módszerrel.

Irodalom

[szerkesztés]
  • Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek (Műszaki, 1997) Bolyai-sorozat, 4. kiadás. ISBN 963 16 1216 3

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Ezt az alakot a közönséges differenciálegyenlet implicit felírásának nevezzük.
  2. Integral of a differential equation - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. (Hozzáférés: 2023. május 31.)

Külső hivatkozások

[szerkesztés]
Commons:Category:Ordinary differential equations
A Wikimédia Commons tartalmaz Közönséges differenciálegyenlet témájú médiaállományokat.