Kalkulus stokastik

Kalkulus stokastik ialah sebuah cabang matematik yang beroperasi pada proses stokastik. Ia membolehkan teori integrasi yang konsisten ditakrifkan untuk kamiran proses secara stokastik berkenaan dengan proses stokastik. Bidang ini dicipta dan dimulakan oleh ahli matematik Jepun, Kiyosi Itô semasa Perang Dunia II.

Proses stokastik yang paling terkenal di mana kalkulus stokastik digunakan ialah proses Wiener (dinamakan sebagai penghormatan kepada ahli matematik Norbert Wiener), yang digunakan untuk membuat pemodelan gerakan Brown seperti yang diterangkan oleh Louis Bachelier pada tahun 1900 dan oleh Albert Einstein pada tahun 1905. Proses Wiener juga membantu memberi penjelasan dengan membolehkan pemodelan penyebaran fizikal dalam sebuah ruang zarah yang tertakluk kepada daya rawak. Sejak 1970-an, proses Wiener telah digunakan secara meluas dalam matematik kewangan dan ekonomi untuk membuat pemodelan evolusi dalam masa harga saham dan kadar faedah bon.

Komponen utama kalkulus stokastik ialah kalkulus Itô dan variasi relatifnya iaitu kalkulus Malliavin. Atas sebab teknikal, kamiran Itô adalah yang paling berguna untuk kelas umum proses, manakala kamiran Stratonovich yang berkaitan selalunya berguna dalam perumusan masalah (terutamanya dalam disiplin kejuruteraan). Kamiran Stratonovich juga dengan mudah boleh digunakan dalam persamaan kamiran Itô. Faedah utama kamiran Stratonovich ialah ia mematuhi peraturan rantaian biasa dan oleh itu tidak memerlukan lemma Itô. Ini membolehkan masalah dinyatakan dalam bentuk invarian sistem koordinat, yang tidak ternilai apabila membangunkan kalkulus stokastik pada manifold selain Rⁿ . Teorem penumpuan yang didominasi tidak berlaku untuk kamiran Stratonovich; akibatnya adalah amat sukar untuk membuktikan keputusan tanpa menyatakan semula kamiran dalam bentuk Itô.

Pengkamiran Itô

Kamiran Itô adalah penting kepada kajian kalkulus stokastik. Dimana integral $\int H\,dX$ ditakrifkan untuk X semimartingale dan proses boleh diramal sempadan tempatan H .

Pengkamiran Stratonovich

Kamiran Stratonovich atau kamiran Fisk–Stratonovich bagi semimartingale $X$ terhadap semimartingale Y boleh ditakrifkan dalam persamaan kamiran Itô sebagai

$\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},$

di mana [ X , Y ]_t^c menandakan kovariasi kuadratik bagi bahagian selanjar X dan Y . Tatatanda alternatif untuk perkara ini;

$\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}$

juga digunakan untuk menandakan kamiran Stratonovich.

Aplikasi

Aplikasi penting untuk bidang kalkulus stokastik adalah dalam bidang kewangan matematik, di mana harga aset sering diandaikan mengikut persamaan pembezaan stokastik. Sebagai contoh, model Black–Scholes yang membuat pemodelan harga pilihan seolah-olah mereka mengikuti sifat rawak seperti gerakan Brownian geometri, menggambarkan peluang dan risiko daripada menggunakan kalkulus stokastik.

Kamiran stokastik

Selain kamiran Itô dan kamiran Fisk-Stratonovich klasik, terdapat pelbagai variasi kamiran stokastik telah wujud seperti kamiran Hitsuda-Skorokhod, kamiran Marcus, kamiran Ogawa dan banyak lagi.

Lihat juga

 

• Itô calculus
• Itô's lemma
• Stratonovich integral
• Semimartingale
• Wiener process

Rujukan

• Fima C Klebaner, 2012, Pengenalan kepada Kalkulus Stokastik dengan Aplikasi (Edisi ke-3). Penerbitan Saintifik Dunia,ISBN 9781848168312
• Pracetak