Klasična modularna krivulja
Klasična modularna krivulja je v teoriji števil ireducibilna ravninska algebrska krivulja, ki je dana z enačbo
- Φn(x, y)=0,
kjer za invarianto j j(τ) velja da je
- x=j(n τ), y=j(τ)
točka na krivulji.
Krivuljo včasih označujemo z X0(n), čeprav to oznako pogosto uporabljamo za abstraktne algebrske krivulje, za katere obstajajo različni modeli. Podobni objekti so klasični modularni polinomi, to so polinomi z eno spremenljivko, ki jih definiramo kot Φn(x, x).
Geometrija modularnih krivulj
[uredi | uredi kodo]Klasične modularne krivulje, ki jih označujemo z X0(n), imajo stopnjo, ki je za 1 večja ali enaka z 2n, ko je n>1. Pri tem pa enakost velja samo in samo, če je n praštevilo.
Polinom Φn ima celoštevilčne koeficiente. To število je enako je definirano nad vsakim obsegom. Kot polinomi z x, katerega koeficienti spadajo med Z[y], ima stopnjo ψ(n), kjer je ψ Dedekindova funkcija psi. Ker pa je Φn(x, y) = Φn(y, x), X0(n) simetrična okoli premice y = x in ima singularne točke pri ponavljajočih se ničlah klasičnega modularnega polinoma kjer seka samega sebe v kompleksni ravnini. To so edine singularnosti in v posebnem primeru, ko je n>2, sta dve singularnosti v neskončnosti, kjer je x=0, y=∞ in x=∞, y=0.
Parametrizacija modularne krivulje
[uredi | uredi kodo]Kadar je n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, ali 25 ima X0(n) geometrijski rod enak nič in jo lahko parametriziramo z racionalnimi funkcijami.
Najenostavnejši netrivialni primer je X0(2), če je
McKay-Thompsonove vrste za razred 2B pošastne grupe ter je η Dedekindova funkcija eta. Potem
parametrizira X0(2) z racionalnimi funkcijami j2. Ni pa potrebno izračunati j2, da bi uporabili ta način parametrizacije. Kot parameter lahko uporabimo poljuben parameter.
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]- klasični modularni polinomi (angleško)