Kwantyfikator egzystencjalny

Kwantyfikator egzystencjalny, kwantyfikator mały, kwantyfikator szczegółowy – kwantyfikator oznaczający, że istnieje takie podstawienie zmiennej, dla którego dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

$\exists x:\phi (x)$ (zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „there exists”)

oraz

$\bigvee _{x}\phi (x).$

W obu przypadkach czyta się „istnieje takie $x,$ dla którego zachodzi $\phi (x)$”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

$\exists x:(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))$

$\bigvee _{x}(x\in \mathbb {A} \land \phi (x))$

to używa się uproszczonej notacji:

$\exists x\in \mathbb {A} :\phi (x)$

$\bigvee _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)$

I czyta się „dla pewnego $x$ należącego do zbioru $\mathbb {A}$ zachodzi $\phi (x)$”.

Jeżeli $X=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}$ jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów $\phi (x)$ to:

$\exists x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\lor \phi (x_{1})\lor \cdots \lor \phi (x_{n})$

Zanegowany kwantyfikator egzystencjalny staje się kwantyfikatorem ogólnym i na odwrót:

$\neg \exists x:\phi (x)=\forall x:\neg \phi (x)$

$\neg \forall x:\phi (x)=\exists x:\neg \phi (x).$

Kwantyfikator jednoznaczności

Stosowany bywa również zapis:

$\exists !\,x\in \mathbb {A} :\phi (x)$

oznaczający „istnieje dokładnie jedno x z A, dla którego zachodzi $\phi (x)$”. Jest to kwantyfikator jednoznaczności który może zostać łatwo zredukowany do podstawowych kwantyfikatorów:

$\exists x{\Bigl (}\phi (x)\land \forall y(\phi (y)\Rightarrow y=x){\Bigr )}$

Zobacz też

• Kwantyfikator ogólny
• lista symboli matematycznych