Lainepakett

Ühemõõtmelise lainepaketi levimine dispersiooni puudumisel

Lainepakett ehk lainerühm on ruumiliselt või ajaliselt piiratud laine. Matemaatiliselt võib lainepaketti mõista kui lihtsamate lainete liitsüsteemi. Eelkõige saab lainepaketti esitada mitme tasalaine superpositsioonina. Sellise lainepaketi lahutamine sageduskomponentideks põhineb Fourier' teisendusel ja seda saab eksperimentaalselt esitada spektromeetri abil. Kiirust, millega lainepaketi mähisjoon liigub, nimetatakse rühmakiiruseks.

Matemaatiline esitus

Tasalaine või monokromaatiline laine (reaalosa/cos-laine)

Lainepakett, mis koosneb monokromaatiliste lainete superpositsioonist

Lainepaketti $\psi (x,t)$ saab esitada tasalainete summana:

$\psi (x,t)=\sum \limits _{j}C_{j}\cdot e^{\mathrm {i} (\omega _{j}\cdot t-k_{j}\cdot x)},$

kus

$C_{j}$ on tasalaine amplituud;

$\omega _{j}$ on üksiku monokromaatilise laine nurksagedus; lainepaketil seevastu ei ole ühte sagedust, vaid tegemist on sagedusjaotusega;

$k_{j}$ on lainearv: $k_{j}=\omega _{j}/c(\omega _{j})$, milles $c(\omega )$ on tasalaine faasikiirus, mis sõltuvalt levikeskkonnast võib olla sagedusest sõltuv.

Faasikiirust saab väljendada murdumisnäitaja $n$ abil valemist $n={\tfrac {c_{0}}{c(w)}}$. Selle tulemusena saab lainepaketi valem kuju

$\psi (x,t)=\sum \limits _{j}C_{j}e^{\mathrm {i} (\omega _{j}\cdot t-{\frac {w_{j}\cdot n(w_{j})}{c_{0}}}\cdot x)}.$

Seega saab väita, et kui keskkonnal on püsiv murdumisnäitaja $n(\omega _{j})={\text{const}}$, siis lainepakett ei haju (dispersioon puudub).

Lainepakett, nagu ka tasalaine, on üldise lainevõrrandi lahend:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$.

See tuleneb lainevõrrandi lineaarsusest ja superpositsiooni printsiibist.

Pideva sagedusjaotuse korral tuleb summalt üle minna Integraalkujule. Seejuures määrab $C(k)$ amplituudijaotuse, mis sõltub nüüd lainearvust $k$:

${\text{(1)}}:\,\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }C(k)\cdot e^{\mathrm {i} (\omega t-k\cdot x)}\mathrm {d} k$.

Näide: Gaussi lainepakett

Lainepaketi sageli kasutatav näide on Gaussi lainepakett. See on laine, mille amplituudijaotus $C(k)$ vastab Gaussi jaotusele.

Gaussi lainepaketi eripäraks on see, et Gaussi funktsiooni Fourier' teisenduse tulemuseks on jällegi Gaussi funktsioon. Seega viib Gaussi amplituudijaotuse täpsustus Gaussi laineni positsiooniruumis. Ja vastupidi: kui lainepaketile antakse positsiooniruumis Gaussi kuju, siis on selle lainepaketi sagedusjaotus automaatselt Gaussi tüüpi.

Lisaks on Gaussi lainepakett madalaima määramatusega lainepakett. See tähendab, et. ühegi teise lainepaketi puhul ei ole korrutis laine laiusest positsiooniruumis selle laiusega sagedusruumis väiksem.

Rakendusi

• Veelained
  Pinnalainete pakette kasutatakse siin näiteks ülekandefunktsioonide mõõtmiseks laevade ja avamererajatiste mudelkatsetes. Et kõik lainemasinast lähtuvad lained kohtuksid samal ajal ühes ja samas kohas, on võimalik ainult seetõttu, et dispersiooniseose kohaselt levivad lühikesed (kõrgsageduslikud) lained veepinnal aeglasemalt kui pikad (madalsageduslikud) lained.
• Mateerialained
  Kvantmehaanikas kasutatakse lainepakette, et näitlikustada osakesi lainepildil. Lainepaketi laiused positsiooniruumis ja impulsiruumis on omavahel seotud Heisenbergi määramatuse printsiibi kaudu. Lokaalselt hästi määratud osakesel on seetõttu väga lai impulsijaotus ja vastupidi.