Liealgebra

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad lieparentes (på engelska Lie bracket)^[1]^[2] som skrivs $[x,y]$ . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är lieparentesen kommutatorn $[x,\,y]=xy-yx$ .

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g → ${\mathfrak {g}}$ , som kallas lieparentes, vilken uppfyller villkoren

(1) Bilinjäritet:

[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]

för alla a, b

\in

K och alla x, y, z

\in {\mathfrak {g}}

.

(2) För alla x

\in {\mathfrak {g}}

gäller:

[x,\,x]=0

(3) Jacobi-identiteten:

[x,\,[y,\,z]]+[y,\,[z,\,x]]+[z,\,[x,\,y]]=0

för alla x, y, z

\in

g.

(4) Antikommutativitet:

Om bilinjäriteten används för att expandera lieparentesen

[x+y,\ x+y]

och med användande av villkor (2) går det att visa att

[x,\ y]+[y,\ x]=0

för alla element x, y i

{\mathfrak {g}}

, vilket implicerar

[x,y]=-[y,x]

En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av lieparentesen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, $[[x,\,y],\,z]$ behöver inte vara lika med $[x,\,[y,\,z]]$ . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel

Ett konkret exempel på en liealgebra är $\mathbb {R} ^{3}$ med vektorprodukt som parentesoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen $[A,B]=AB-BA$ som parentesoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se även

Referenser

Noter

^ "Lie bracket" i Björn Graneli, 2002, Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken, Luleå Tekniska Högskola, sid. 23.
^ "Lie bracket" i Stefan B. Lindström, 2013, Matematisk ordbok för högskolan, sid. 35. ISBN 978-91-981287-0-3.

Källor

Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
Kac, Victor G. et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
Höglund, Joel Lie-algebror, Examensarbete, rapport 2013:16, matematiska institutionen, Uppsala universitet, http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:630755/FULLTEXT01.pdf

[1] "Lie bracket" i Björn Graneli, 2002, Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken, Luleå Tekniska Högskola, sid. 23.

[2] "Lie bracket" i Stefan B. Lindström, 2013, Matematisk ordbok för högskolan, sid. 35. ISBN 978-91-981287-0-3.

[1]

[2]