Logaritms

Logaritma funkcijas ar dažādām bāzēm. Sarkanās funkcijas logaritms ir ar bāzi e (ln). Zaļās funkcijas logaritms ir ar bāzi 10 (lg) un purpurkrāsas funkcija ir logaritms ar bāzi 1,7.

Logaritms ir matemātiska operācija, kas ir pretēja kāpināšanai (ja grib atgūt kāpinātāju). Skaitļa $x$ logaritms pie bāzes $b$ ir tāds skaitlis $n$, ka bⁿ = x un to pieraksta šādi:

$\!\,\log _{b}x=n$.

Piemēram,

$\log _{3}81=4\$, jo

$3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81.\,\!$

Skaitlis b (logaritma bāze) un skaitlis x var būt kā veseli, tā daļskaitļi, bet tiem ir jābūt pozitīviem, lai logaritmi būtu reāli skaitļi (nevis imagināri). Paši logaritmi var būt gan pozitīvi (ja skaitļi ir lielāki par 1), gan negatīvi (ja skaitļi ir starp 0 un 1). Ja par logaritmu bāzēm ņem skaitļus, kas ir lielāki par 1, tad lielākajam skaitlim ir arī lielākais logaritms.

Bāzes

Visizplatītākās logaritma bāzes ir 10, 2 un matemātiskā konstante e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.

• naturālais logaritms (log_e), logaritms, kuru visplašāk izmanto matemātiskajā analīzē.
• decimālais logaritms (log₁₀), logaritms, kuru visplašāk izmanto inženierzinātnes nozarēs.
• binārais logaritms (log₂), logaritms, kuru visplašāk lieto informācijas teorijā, datorzinātnē un apzīmējot mūzikas intervālus (mūzikas teorija).

Citi apzīmējumi

Naturālo logaritmu log_ex īsuma dēļ apzīmē ar ln x. Līdzīgi ir arī ar decimālo logaritmu log₁₀(x), ko īsuma dēļ apzīmē ar lg(x).

Dažādās matemātiskajās ierīcēs logaritmi ir apzīmēti dažādi, bet tomēr ļoti līdzīgi.

• Daudzās programmēšanas valodās, piemēram, C++, Java, Fortran un BASIC logaritms ir apzīmēts ar "LOG" vai "log" un tas attiecas uz naturālo logaritmu (log_e).
• Lielākoties uz kalkulatoriem logaritms, kas ir apzīmēts ar "LOG", attiecas uz decimālo logaritmu (log₁₀) un logaritms, kas ir apzīmēts ar "LN", attiecas uz naturālo logaritmu (log_e).

Bāzu maiņa

Ļoti svarīga logaritmu īpašība ir tā, ka logaritmu ar bāzi b var atrast, to izsakot par logaritmu dalījumu ar citu bāzi k:

$\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}$

Lielākoties tas ir svarīgi un ērti matemātiskajām ierīcēm (tajā skaitā kalkulatoriem), jo tajos visizplatītākie logaritmi ir ar bāzēm e (ln) un 10 (lg). Tas nozīmē to, ka $\!\,\log _{3}5$ var izteikt kā $\log _{3}5={\frac {\ln 5}{\ln 3}}$.

Logaritmu izmantošana

Logaritmu izmantošana ir lietderīga tajos uzdevumos, vienādojumos, kur pakāpe ir nezināma. Logaritmi ir viegli atvasināmi, tādēļ tos daudz lieto integrāļu risināšanā. Logaritms ir viena no trim svarīgākajām darbībām. bⁿ = x vienādojumā b var izteikt ar sakni, n ar logaritmu un x ar pakāpi.

$\!\,b={\sqrt[{n}]{x}}$

$\!\,n=\log _{b}x$

$\!\,x=b^{n}$

Zinātnē un inženierijā

• Ķīmijā visplašāk tiek lietots negatīvs decimālais logaritms, kas raksturo ūdeņraža jonu koncentrāciju (pH). Ūdeņraža jonu koncentrācija neitrālā ūdenī 25 °C ir 10^-7 (-log₁₀10^-7), tādējādi pH ir 7.
• Mērot zemestrīču intensitāti ar Rihtera skalu, tiek izmantoti decimālie logaritmi.

Vieglāki logaritmu aprēķini

Zinot to, ka logaritma rezultāts ir pakāpe, mēs varam koncentrēties uz pakāpju īpašībām, t. i., ja bāzes ir vienādas, tad noteiktas darbības var veikt šādi:

Darbības ar skaitļiem	Darbības ar pakāpēm	Darbības ar logaritmiem
$\!\,ab$	$\!\,A+B$	$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$\!\,a/b$	$\!\,A-B$	$\!\,\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$
$\!\,a^{b}$	$\!\,Ab$	$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$
$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$	$\!\,A/b$	$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})={\frac {\log(a)}{b}}$

Īpašības

Decimālā logaritma tabula.

• Reizinājuma logaritms (pie jebkuras bāzes a) ir vienāds ar reizinātāju logaritmu summu (pie tās pašas bāzes):

$\!\,\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y$

• Dalījuma logaritms ir vienāds ar dalāmā un dalītāja logaritmu starpību:

$\!\,\log _{a}{x \over y}=\log _{a}x-\log _{a}y$

• Pakāpes logaritms ir vienāds ar kāpinātāju, kas reizināts ar kāpināmā skaitļa logaritmu:

$\!\,\log _{a}x^{m}=m\log _{a}x$

$\log _{a}{\sqrt[{n}]{b}}={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

• Skaitļu logaritmi, ja skaitlis ir vienāds ar bāzi, vienmēr ir 1

$\!\,\log _{a}a=1$

• Skaitļa 1 logaritms pie jebkuras bāzes ir vienāds ar 0

$\!\,\log _{a}1=0$

$\!\,\log _{a}b={1 \over \log _{b}a}$

$\!\,\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Logaritmu aprēķināšanai agrāk lietoja tabulas un logaritmiskos lineālus, taču ar kabatas kalkulatoru ieviešanu šo rīku izmantošana vairs nav aktuāla.

Skatīt arī

• Naturālais logaritms