Macierz hermitowska

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa $A=[a_{ij}]$ równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu$A^{\dagger }=[{\overline {a_{ji}}}],$ tj. macierz spełniająca warunek:

$A=A^{\dagger }$

czyli

$[a_{ij}]=[{\overline {a_{ji}}}]$

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.

Przykłady

Macierze hermitowskie 2 × 2

• macierze symetryczne rzeczywiste, tj. ${\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},\;a,b,c\in \mathbb {R} ,\;{}$ np. ${\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}}$

• macierze zespolone, np. ${\begin{bmatrix}1&-i\\i&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}}$

• macierze Pauliego

$\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

• macierz zbudowana z macierzy Pauliego

$H(x,y,z)=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}={\begin{bmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\end{bmatrix}}$

Macierze hermitowskie 3 × 3

• macierze symetryczne rzeczywiste, tj.

${\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},\;a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} ,\;{}$ np. ${\begin{bmatrix}1&2&4\\2&7&0\\4&0&-3\end{bmatrix}}$

• $A={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}.$

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

$A^{\dagger }=\left({\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}^{T}\right)^{*}={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}=A$

Macierze hermitowskie 4 × 4

• macierz gamma Diraca $\gamma ^{0}$

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

• macierze alpha i beta Diraca

Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego

Macierze hermitowskie wymiaru $n\times n$ mają na przekątnej liczby rzeczywiste $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in \mathbb {R} ,$ a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.

Macierze hermitowskie wymiaru $n\times n$ mają ogólną postać

${\begin{bmatrix}p_{1}&a&b&\ldots \\{\overline {a}}&p_{2}&c&\ldots \\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}&\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C} ,$

gdzie ${\overline {a}},{\overline {b}},{\overline {c}},\dots$ – sprzężenia zespolone liczb $a,b,c,\dots$

Macierze te zależą w ogólności od $n^{2}$ parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową $n^{2}$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $n\times n$ zależą od $n^{2}-1$ parametrów (warunek $Tr(A)=0$ daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego $su(n).$ Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze hermitowskie 2 × 2

– mają ogólną postać

${\begin{bmatrix}p_{1}&a\\{\overline {a}}&p_{2}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,$

gdzie:

• $a=x_{a}+iy_{a},$
• ${\overline {a}}=x_{a}-iy_{a}$ – sprzężenie zespolone liczby $a.$

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów $x_{a},y_{a},p_{1},p_{2}$ i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń $2^{2}-1=3$ – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.

Macierze hermitowskie 3 × 3

– mają ogólną postać

${\begin{bmatrix}p_{1}&a&b\\{\overline {a}}&p_{2}&c\\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,a,b,c\in \mathbb {C} .$

Macierze te zależą w ogólności od $3^{2}=9$ parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb $a,b,c$) i tworzą przestrzeń wektorową $9$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru $3\times 3$ zależą od $3^{2}-1=8$ parametrów i tworzą podprzestrzeń $8$ -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.

Własności

• Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
• Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne.

Dowód: Niech $\lambda$ będzie wartością własną macierzy $A,$ tj. $Ax=\lambda x$ dla pewnego niezerowego wektora $x.$ Wówczas

$\lambda \langle x,x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\langle x,\lambda x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle ,$

co dowodzi, że $\lambda$ jest liczbą rzeczywistą, ponieważ $\lambda ={\overline {\lambda }}.$

• Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.

Dowód: Niech $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$ będą różnymi wartościami własnymi macierzy $A$ dla pewnych wektorów, kolejno $x_{1}$ i $x_{2},$ tj. $Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1}$ oraz $Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}.$ Wówczas:

$\lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{1},\lambda _{2}x_{2}\rangle =\langle x_{1},Ax_{2}\rangle =\langle A^{\dagger }x_{1},x_{2}\rangle =\langle \lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}^{*}\langle x_{1},x_{2}\rangle ,$

ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc $\lambda _{1}^{*}=\lambda _{1}.$

Stąd:

$\lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}\langle x_{1},x_{2}\rangle \Rightarrow (\lambda _{2}-\lambda _{1})\langle x_{1},x_{2}\rangle =0,$

ponieważ $\lambda _{2}\neq \lambda _{1}$ (macierz niezdegenerowana), $\langle x_{1},x_{2}\rangle =0,$ a więc wektory $x_{1}$ i $x_{2}$ są ortogonalne.

• Macierz hermitowska $n\times n$ posiada $n$ liniowo niezależnych wektorów własnych.

Dowód: Niech $A$ będzie macierzą hermitowską, a $\lambda$ jej wartością własną. Pokażemy, że $A$ nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że $v$ jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy: $(A-\lambda I)^{2}v=0,$ zatem $\langle v,(A-\lambda I)^{2}v\rangle =0.$ Skoro $A$ jest hermitowska, a $\lambda$ – rzeczywista, z powyższego wynika, że $\langle (A-\lambda I)v,(A-\lambda I)v\rangle =0$ lub równoważnie $\|(A-\lambda I)v\|^{2}=0.$ Ostatecznie $(A-\lambda I)v=0,$ czyli $v$ jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że $v$ jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy $A$ występują zatem wyłącznie jej wektory własne.

• Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy $A$ istnieją rzeczywista diagonalna macierz $D$ oraz unitarna macierz $U,$ takie że $A=UDU^{\dagger }.$
• Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
• Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.

Formy hermitowskie

Formę $g$ na zespolonej przestrzeni liniowej $V$ nazywa się hermitowską jeżeli

1. $g(a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2},\vartheta )=a_{1}g(\xi _{1},\vartheta )+a_{2}g(\xi _{2},\vartheta )\quad (a_{1},a_{2}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\xi _{2},\vartheta \in V)$
2. $g(\xi ,\vartheta )={\overline {g(\vartheta ,\xi )}}\quad (\xi ,\vartheta \in V).$

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli $A$ jest $n$-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

$g(\xi ,\vartheta )=\xi A\vartheta ^{T}\quad (\xi ,\vartheta \in \mathbb {C} ^{n})$

definiuje formę hermitowską w przestrzeni $\mathbb {C} ^{n}$ (symbol $\vartheta ^{T}$ oznacza postać kolumnową wektora poziomego $\vartheta$).

Zobacz też

• macierz antyhermitowska
• macierz unitarna
• operator hermitowski
• sprzężenie hermitowskie macierzy

Bibliografia

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2. Brak numerów stron w książce
• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 125–127.
• Tadeusz Trajdos, Matematyka c III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.