Masa diskret dan masa selanjar

Dalam ilmu matematik, khususnya cabang dinamik matematik, masa diskret dan masa selanjar merupakan dua kerangka alternatif di mana dimodelkannya pemboleh ubah yang berevolusi mengikut peredaran masa.

Masa diskret

Masa diskret menganggap nilai-nilai pemboleh ubah sebagai berlaku pada "titik-titik masa" berasingan, atau secara persamaan sebagai tidak berubah sepanjang setiap bidang masa bukan sifar ("kala" atau "tempoh"). Maka sesuatu pemboleh ubah melompat dari satu nilai ke satu nilai sedangkan masa beralih dari satu kala ke kala seterusnya. Pandangan masa ini bersamaan dengan jam digital yang memaparkan waktu 10:37 untuk seketika, kemudian beralih kepada waktu baru iaitu 10:38, dsb. Dalam kerangka ini, setiap pemboleh ubah yang berkenaan disukat sekali dalam setiap kala. Bilangan sukatan antara mana-mana dua kala itu adalah terbatas. Sukatan biasanya dilakukan pada nilai-nilai integer berjujukan bagi pemboleh ubah "masa".

Masa selanjar

Berbeza dengan yang tadi, masa selanjar memandang pemboleh ubah sebagai memiliki satu nilai yang tertentu untuk mungkin sejumlah masa yang teramat singkat sekali sahaja. Antara mana-mana dua titik masa terdapat sebilangan titik masa lain yang tidak terhingga. Pemboleh ubah "masa" menjangkau seluruh garisan nombor nyata, ataupun sesebahagiannya mengikut konteks (cth. nombor nyata tak negatif).

Konteks relevan

Masa diskret sering digunakan apabila terlibatnya penyukatan empirik kerana biasanya pemboleh ubah hanya boleh disukat secara berjujukan. Contohnya, walhal kegiatan ekonomi sebenarnya berlaku secara selanjar, tanpa sedikit masa pun apabila seluruh ekonomi terhenti, namun adalah tidak mustahil untuk menyukat kegiatan ekonomi secara diskret sahaja. Oleh itu, data terbitan tentang keluaran dalam negeri kasar (misalnya) disiarkan dalam bentuk nilai-nilai suku tahunan.

Dalam cuba menerangkan secara empirik pemboleh ubah sedemikian dari segi pemboleh ubah lain dan/atau nilai terdahulu tersendiri, harus digunakanlah kaedah siri masa atau regresi yang mana pemboleh ubah itu diindekskan dengan subskrip yang menandakan kala masa pemboleh ubah itu dicerap. Contohnya, y_t boleh menandakan nilai pendapatan y yang dicerap pada tempoh t yang tidak tentu, y₃ itu nilai pendapatan yang dicerap pada kala masa ketiga, dsb.

Lebih-lebih lagi, apabila seseorang penyelidik cuba mencipta suatu teori untuk menjelaskan apa yang dicerap dalam masa diskret, selalunya teori itu diungkapkan dalam masa diskret untuk memudahkan pembentukan model siri masa atau regresi.

Sebaliknya, model teori lebih senang dibentuk dalam masa selanjar dari segi matematik, malah selalunya dalam bidang-bidang seperti fizik, penerangan yang tepat memerlukan penggunaan masa selanjar. Dalam konteks masa selanjar, nilai pemboleh ubah y pada titik masa yang tidak ditentukan bertanda y(t) atau sekadar y jika maksudnya sudah jelas.

Jenis persamaan

Masa diskret

Masa diskret menggunakan persamaan beza atau "hubungan jadi semula". Antara contohnya adalah "peta logistik" atau persamaan logistik seperti berikut:

$x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),$

yang mana r adalah parameter dalam julat terangkum 2 hingga 4, dan x merupakan pemboleh ubah dalam julat terangkum 0 hingga 1 yang nilainya dalam kala t secara tak linear mempengaruhi nilainya pada kala berikutnya, iaitu t+1. Cth. jika $r=4$ dan $x_{1}=1/3$, maka untuk t=1 hasilnya $x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$, dan untuk t=2 pula hasilnya $x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$.

Satu lagi contoh memodelkan pelarasan harga P sebagai membalas permintaan lebihan bukan sifar untuk suatu barangan sebagai

$P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)$

yang mana $\delta$ adalah parameter kelajuan pelarasan positif yang kurang atau bersamaan dengan 1, sementara $f$ adalah fungsi lebihan permintaan.

Masa selanjar

Masa selanjar menggunakan persamaan pembezaan. Contohnya, pelarasan harga P sebagai membalas permintaan lebihan bukan sifar untuk suatu barangan boleh dibentuk dalam masa selanjar sebagai

${\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)$

yang mana bahagian kiri adalah terbitan pertama harga yang berkenaan dengan masa (iaitu kadar perubahan harga), $\lambda$ adalah kecepatan parameter kecepatan pelarasan dalam sebarang bilangan positif terbatas, dan $f$ sekali lagi fungsi lebihan permintaan.