Matice soustavy

Matice soustavy, též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.

Definice

Soustavu $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých lze obecně zapsat ve tvaru

${\begin{array}{rcr}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{array}}$

kde $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ jsou neznámé a čísla $a_{11},a_{12},...,a_{mn}$ jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu $m\times n$, jejíž prvky na souřadnicích $i$ a $j$ jsou koeficienty $a_{ij}$:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí

${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}$,

kde ${\boldsymbol {A}}$ je matice soustavy a ${\boldsymbol {b}}$ je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.

Rozšířená matice soustavy

Rozšířená matice soustavy je přepis soustavy $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých

${\begin{array}{rcr}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{array}}$

do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.

$({\boldsymbol {A}}|{\boldsymbol {b}})=\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)$

Hodnost matice

Podrobnější informace naleznete v článku Frobeniova věta.

Podle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost $r$ rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné, právě když hodnost $r=\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}$ je rovna počtu proměnných $n$. Je-li proměnných více, pak lze $n-r$ volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.

Dynamické rovnice

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${\boldsymbol {y}}_{t+1}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {y}}_{t}+{\boldsymbol {c}},$

kde ${\boldsymbol {A}}$ je čtvercová matice řádu $n$ a ${\boldsymbol {y}}$ a ${\boldsymbol {c}}$ jsou $n$-složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu ${\boldsymbol {y}}$, právě když absolutní hodnoty všech $n$ vlastních čísel matice ${\boldsymbol {A}}$ jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${\frac {d{\boldsymbol {y}}}{dt}}={\boldsymbol {Ay}}(t)+{\boldsymbol {c}}$.

Tato soustava je stabilní, právě když všech $n$ vlastních čísel matice ${\boldsymbol {A}}$ má záporné reálné části.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Coefficient matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Soustava lineárních rovnic
• Gaussova eliminační metoda

Portály: Matematika