Matriu diagonal

En l'àlgebra lineal, una matriu diagonal és una matriu quadrada en què els seus elements valen zero a excepció dels de la diagonal principal, que poden valer zero o no. Així, la matriu $D=(d_{i,j})$ és diagonal si i només si:

$d_{i,j}=0\ \forall i\neq j$

Per exemple, la matriu següent és diagonal:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Un altre exemple de matriu diagonal és la matriu identitat.

Sovint, es designa amb la notació diag(a₁,...,a_n) la matriu diagonal que té les entrades a₁,...,a_n en la diagonal principal, començant per la cantonada superior esquerra. És a dir, l'exemple anterior es correspon amb la matriu diag(1,4,-2); mentre que les matrius identitat són les del tipus diag(1,1,...,1).

Tota matriu diagonal és també una matriu simètrica, triangular (superior i inferior) i, si les entrades provenen del cos ℝ o ℂ, normal.

Operacions matricials

Les operacions de suma i producte de matrius són especialment senzilles per a matrius diagonals. Per a la suma es té:

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

i per al producte de matrius,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

La matriu diagonal diag(a₁,...,a_n) és invertible si i només les entrades a₁,...,a_n són totes diferents de 0. En aquest cas, es té

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

En particular, les matrius diagonals formen un subanell de l'anell de les matrius de n×n.

Multiplicar la matriu A per l'esquerra amb diag(a₁,...,a_n) equival a multiplicar la fila i-èsima d'A per a_i per a tot i. Multiplicar la matriu A per la dreta amb diag(a₁,...,a_n) equival a multiplicar la columna i-èsima d'A per a_i per a tot i.

Autovalors, autovectors i determinant

• Els autovalors de diag(a₁,...,a_n) són a₁,...,a_n.
• Els vectors e₁,...,e_n formen una base d'autovectors.
• El determinant de diag(a₁,...,a_n) és igual al producte a₁·...·a_n.

Usos

Les matrius diagonals apareixen en moltes àrees de l'àlgebra lineal. Degut a la simplicitat de les operacions i el càlcul del seu determinant i dels seus valors i vectors propis, sempre és desitjable representar una matriu donada o aplicació lineal com una matriu diagonal.

De fet, una matriu donada de n×n és semblant a una matriu diagonal si i només si té n autovectors linealment independents. Aquestes matrius reben el nom de diagonalitzables.

En el cos dels nombres reals o complexos existeixen més propietats: tota matriu normal és semblant a una matriu diagonal i tota matriu és equivalent a una matriu diagonal amb entrades no negatives.