Przejdź do zawartości

Metryka Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni Niech i będą elementami przestrzeni a elementami przestrzeni przy czym Wyrażenia:

oznaczają odpowiednio odstęp punktu od zbioru i odstęp punktu od zbioru Z kolei wyrażenia:

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru od zbioru i odstęp zbioru od zbioru
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję określoną wzorem[1][2][3]:

  • Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów i
  • Gdy to
  • Gdy to
  • Odstępy i mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy jest podzbiorem właściwym zbioru
  • Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku -otoczeń. Dla danego zbioru i oznaczamy kulę o środku i promieniu oraz określamy
Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:
oraz
  • Odwzorowanie jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni w przestrzeń Ponadto zbiór jest domknięty w co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.
  • Przestrzeń z wprowadzoną metryką Hausdorffa jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna[1][2][4].
  • Topologia przestrzeni zależy od topologii przestrzeni a nie od samej metryki gdy metrykę zastąpić przez topologicznie równoważną ' (obie w ), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w ).
  • jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią zwartą.
  • Zbiór jest skończony jest gęsty w

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: oraz Odpowiednie odległości wynoszą:

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Metryka Hausdorffa może być definiowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni ale też od użytej w metryki

Z kolei dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b Barnsley 1988 ↓, s. 29–42.
  2. a b Engelking 1975 ↓, s. 363–364.
  3. Kudrewicz 2007 ↓, s. 28–30.
  4. Edgar 2008 ↓, s. 71–73.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.).
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
  • Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
  • Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71–73. (ang.).