Modular

Modular – rodzaj funkcjonału na rzeczywistej przestrzeni liniowej. Pojęcie modularu służy do zdefiniowania tzw. przestrzeni modularnych, których szczególnym przypadkiem są przestrzenie Orlicza.

Definicja

Jeśli $X$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to odwzorowanie $\varrho \colon X\to [0,\infty ]$ nazywamy modularem (w przestrzeni $X$) gdy dla wszystkich $x,y\in X$ oraz wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych $\alpha ,\beta$ takich, że $\alpha +\beta =1$ spełnione są warunki

1. $\varrho (x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0,$
2. $\varrho (x)=\varrho (-x),$
3. $\varrho (\alpha x+\beta y)\leqslant \varrho (x)+\varrho (y).$

Jeśli zamiast warunku 3 spełniony jest warunek

3' $\varrho (\alpha x+\beta y)\leqslant \alpha \varrho (x)+\beta \varrho (y),$

to odwzorowanie $\varrho$ nazywamy modularem wypukłym.

Jeśli $\varrho$ jest modularem w przestrzeni $X,$ to zbiór $X_{\varrho }$ tych elementów $x\in X,$ dla których

$\lim _{\lambda \to 0}\varrho (\lambda x)=0$

nazywamy przestrzenią modularną.

Własności

• Przestrzeń modularna $X_{\varrho }$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X.$
• Jeśli $\varrho$ jest modularem wypukłym w przestrzeni $X,$ to odwzorowanie dane wzorem

$\|x\|_{\varrho }=\inf\{u>0\colon \,\varrho ({\tfrac {x}{u}})\leqslant 1\}$ jest normą w przestrzeni $X_{\varrho }.$

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to norma jest modularem wypukłym w tej przestrzeni.

Ciągi Cauchy’ego w przestrzeniach modularnych

Dla przestrzeni modularnych definiuje się pojęcie analogiczne do ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej:

• Niech $X_{\varrho }$ będzie przestrzenią modularną. Ciąg $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ punktów tej przestrzeni nazywamy ciągiem Cauchy’ego (w przestrzeni modularnej $X_{\varrho }$), gdy dla każdej liczby $a>0$ oraz każdego $\varepsilon >0$ istnieje taka liczba $N,$ że dla wszystkich $m,n>N$

$\varrho (a(x_{n}-x_{m}))<\varepsilon .$

• Przestrzeń $X_{\varrho }$ nazywamy $\varrho$-zupełną, gdy dla każdego ciągu Cauchy’ego $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ punktów tej przestrzeni istnieje $x\in X_{\varrho },$ że

$\lim _{k\to \infty }\varrho (a(x_{k}-x))=0$

dla każdego $a>0.$

Okazuje się, że jeśli $\varrho$ jest modularem wypułym to ciąg punktów przestrzeni modularnej jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni modularnej wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni unormowanej $(X_{\varrho },\|\cdot \|_{\varrho }).$

Bibliografia

• Musielak, Julian: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 97–99.