Påskeformelen

Påskeformelen er metoden som brukes for å beregne tidspunktet for påskehøytiden i et gitt år. På latin og engelsk kalles prosedyren for Computus og har siden tidlig middelalder vært svært betydningsfull, da datoene for store deler av kirkeåret bestemmes ut fra dette tidspunktet. Ordet «computer» («komputist» på norsk) betydde opprinnelig en person som var i stand til å regne ut påsketidspunktet. Komputistene kan på mange måter betraktes som forløperne til den nyere tids matematikere. De mest kjente komputistene fra middelalderen er Dionysius Exiguus (Denys le Petit) og Beda den ærverdige.

Definisjon

I de fleste oppslagsverk finner man regelen formulert som følger:

Første påskedag faller på første søndag etter første fullmåne på eller etter vårjevndøgn.

Imidlertid gir en slik regel stort rom for ulike tolkninger, blant annet hvordan påskens tids­punkt da vil avhenge av hvor man befinner seg på jordkloden i forhold til datolinjen og andre astronomiske forhold, som detalj­kunnskaper om månens bane og hvilken geografisk lengde den observeres fra.

Den kanoniske definisjonen av påskedatoen kom konsilet i Nikea frem til i året 325:

«Påsken er den søndagen som følger den fjortende dagen til den månen som oppnår denne alderen på den 21. mars eller umiddelbart deretter.»

Av definisjonen fremgår det at påsken ikke fastsettes i forhold til det astronomiske vår­jevndøgn, men til en fast kalender­dato. Denne ligger riktignok nær det astronomiske vårjevndøgnspunktet, men faller likevel aldri helt sammen med dette. Herav fremgår det også at påsketidspunktet ikke fastsettes i forhold til fullmånen, men til nymånen som opptrer 8. mars eller umiddelbart deretter. «Månens alder» angir det antall dager som er gått siden nymåne. Videre er det ikke den virkelige månen, som har en svært komplisert bane, men en tenkt middelmåne som går med jevn fart i banen sin rundt jorden.

Fullmånen som går forut for tidspunktet for påskehøytiden er gjennom tidene (også etter den julianske kalenderen) blitt kalt for påske­fullmånen.

Påskedatoen som de to settene med påske­formler under gir i hver sin periode er blitt brukt i de fleste vesteuropeiske land siden kristen­dommen ble innført og altså etter kirke­møtet i Nikea i 325. Fordi påske­datoen er gjort uavhengig av lengdegrad og den virkelige månens bevegelse, oppnår man dermed en dato som er lik for alle, og som lett kan beregnes for et hvilket som helst fremtidig eller tidligere tids­punkt, uten at det er nødvendig å foreta noen faktiske måne­observasjoner. I jøde­dommen benytter man imidlertid en annen formel.

For å beregne påskedatoen trenger man derfor en «evigvarende måne­kalender» som går ut fra denne tenkte middelmånen som kalles den eklesiastiske månen. Denne regnemåten heter «Computus Eclesiasticus». Man skiller da mellom to regneskjemaer:

Juliansk påskeformel

Fordelingen av datoene for påskedagen i den julianske syklusen for perioden 1900 – 2099 (blå) sammen med konturen av den gregorianske fordelingen (rød) (se nedenfor). (Alle datoer er gregorianske.)

Det ene regneskjemaet gjelder frem til og med året 1582 (1699 i Norge og Danmark) og kalles den julianske påskeformelen. Denne er viktig for historiske undersøkelser. Den opprinnelige påske­formelen ble først utarbeidet av Denis le Petit på 500-tallet. På 700-tallet publiserte så engelskmannen Beda boken De temporum ratione, som ble brukt som standard læreverk på dette området gjennom hele middelalderen.

I de fleste ortodokse kirkene baseres påske­formelen fortsatt på den julianske kalenderen. Siden landene vanligvis bruker den gregorianske kalenderen som sin borgerlige kalender, betyr det at påskedagen vil ligge i tidsrommet 4. april – 8. mai i perioden 1900 – 2099. (Forskjellen mellom den julianske og den gregorianske kalenderen øker med tre døgn i løpet av 400 år.)

Månekalenderen som ligger til grunn for påske­formelen bygger på en syklus på 532 år (19 × 28 år) (Metons syklus × solsyklus) (dvs. 6 384 måneder, 27 759 uker = 194 313 døgn). Månesyklusen bygger på det fra gammelt av kjente faktum at den synodiske månen gjennom­fører nokså nøyaktig 235 omløp i løpet av 19 julianske år (ett juliansk år består av 365¼ døgn). Denne 19-årige månesyklusen er kjent fra den greske astronomen Meton og kalles etter ham for Metons syklus. Den 28-årige sol­syklusen er satt sammen av den 4-årige skuddårs­syklusen og den 7-årige ukedags­syklusen.

Som begynnelsesår for denne 532-årige påskesyklusen valgte man skuddåret 608 e.Kr. (påskedag var 7. april). Dette årets første nymåne kom 23. januar og året fikk tildelt gyldentallet 1. I dette året falt 1. januar på en mandag. Året var tildelt søndagsbokstavene G og F. Går man herfra 532 år fremover i tid til året 1140 e.Kr., så finner man at sistnevnte år har nøyaktig det samme gylden­tallet 1 og søndags­bokstav­paret G F som det førstnevnte (og dermed påskedag 7. april). Dette er fordi den samme kombinasjonen av gyldentall og søndags­bokstaver alltid gjentar seg efter 532 år, men ikke før. Et års gyldentall er ett av tallene 1, 2, … 19 og et års søndags­bokstav er én av de syv bokstavene A, B, … G, to bokstaver når det er et skuddår.

Tabell

Gylden- tall	Fullmåne	Dags- bokstav	Epakt		Gylden- tall	Fullmåne	Dags- bokstav	Epakt
1	5. april	D	30		11	15. april	G	20
2	25. mars	G	11		12	4. april	C	1
3	13. april	E	22		13	24. mars	F	12
4	2. april	A	3		14	12. april	D	23
5	22. mars	D	14		15	1. april	G	4
6	10. april	B	25		16	21. mars	C	15
7	30. mars	E	6		17	9. april	A	26
8	18. april	C	17		18	29. mars	D	7
9	7. april	F	28		19	17. april	B	18
10	27. mars	B	9

Det var mulig å finne den julianske påske­dagen utfra en tabell. Man måtte da vite gyldentallet og søndags­bokstaven(e) for det aktuelle året. Ved hjelp av denne tabellen kunne man så finne datoen for påskedagen.

Påskedagen var den første søndagen etter den viste fullmåne-datoen. Juliansk epakt var månens alder 22. mars.

Eksempel

Finn datoen for påskedagen 1520.
Gyldentallet for 1520 var 1.
1520 hadde søndagsbokstavene A G.
Tabellen viser at ved gyldentall 1 var det fullmåne 5. april; siden 5. april har dagsbokstaven D, ble 8. april den første etterfølgende søndag i 1520.

Gregoriansk påskeformel

Fordelingen av datoene for påskedagen i den gregorianske syklusen på 5 700 000 år.

Det andre regneskjemaet gjelder fra og med året 1583 med unntak for de land som inn­førte den gregorianske kalenderen ved et senere tids­punkt, deriblant Norge (1700) og kalles den gregorianske påskeformelen. Fordi skuddårene i den gregorianske kalenderen ikke følger en like enkel regel som i den julianske, er den gregorianske påskeformelen litt mer komplisert enn den julianske.

Påskeformelen gir nå en periodisk syklus på 5 700 000 år (eksakt):

((19 × 30 × 4 × 25 × 100 år)
(Metons syklus × ant. gregorianske epakter × solkorreksjonssyklus (sekler) × månekorreksjonssyklus (sekler) × 100 år) 
(dvs. 68 400 000 måneder, 297 411 750 uker = 2 081 882 250 døgn)).

Påske­dagen kan falle på 35 forskjellige datoer; 22. mars er den tidligste, og 25. april er den seneste datoen. Sistnevnte dato var fra gammelt av en merkedag som kaltes gangdagen eller markusmesse. Ikke siden 1818 har påske­dagen falt på den tidligst mulige datoen, og den vil ikke gjøre det igjen før i 2285. I 1913 og 2008 falt påske­dagen på 23. mars, neste gang det skjer er i 2160. Påskedagen var på den senest mulige datoen i 1886 og 1943, neste gang det skjer er i 2038. 19. april er den vanligste datoen, i løpet av syklusen faller påskedagen på denne datoen hele 220 400 ganger, dette tilsvarer 3,87 % av alle gangene (gjennomsnittet for alle datoene er 2,86 %). 22. mars er den sjeldneste datoen, den forekommer bare 27 550 ganger (0,48 %), dernest følger 25. april som forekommer 42 000 ganger (0,74 %) i løpet av 5 700 000 år.

Tabell

Epakt	Fullmåne	Dags- bokstav		Epakt	Fullmåne	Dags- bokstav		Epakt	Fullmåne	Dags- bokstav
1	12. april	D		11	2. april	A		21	23. mars	E
2	11. april	C		12	1. april	G		22	22. mars	D
3	10. april	B		13	31. mars	F		23	21. mars	C
4	9. april	A		14	30. mars	E		24	18. april	C
5	8. april	G		15	29. mars	D		25*	18. eller  17. april	C eller B
6	7. april	F		16	28. mars	C		26	17. april	B
7	6. april	E		17	27. mars	B		27	16. april	A
8	5. april	D		18	26. mars	A		28	15. april	G
9	4. april	C		19	25. mars	G		29	14. april	F
10	3. april	B		20	24. mars	F		30	13. april	E
* Hvis gyldentallet (G) er større enn 11, velg 17. april ellers velg 18. april.

Det er mulig å finne den gregorianske påske­dagen utfra en tabell. Man må da vite epakten og søndagsbokstaven(e) for det aktuelle året. Ved hjelp av denne tabellen kan man så finne datoen for påskedagen.

Påskedagen er den første søndagen etter den viste fullmåne-datoen. Gregoriansk epakt er månens alder 1. januar.

Eksempel

Finn datoen for påskedagen 2030:

G = 17
JE = 26
S = 15
L = 6
Gregoriansk epakt, GE = (JE − S + L + 8) mod 30 = 25
hvor
mod gir resten etter en heltallsdivisjon.

2030 har søndagsbokstaven F.
Tabellen viser at ved epakt 25 er det fullmåne 18. eller 17. april. Fordi gyldentallet (G) er større enn 11, velges 17. april som fullmåne-datoen. Siden 17. april har dagsbokstaven B, blir 21. april den første etterfølgende søndag i 2030.

Avvik i Danmark-Norge

Ved innføringen av den gregorianske kalenderen i Danmark-Norge mandag 1. mars 1700 valgte man å følge de astronomiske tidspunktene for vårjevndøgn og fullmåne med utgangspunkt i Vens meridian etter anbefaling fra astronomen Ole Rømer.

Det eneste året da dette ga seg praktisk utslag var i 1744, da Danmark-Norge feiret påske én uke før alle andre land som hadde gått over til den gregorianske kalenderen. I 1724 var det også én ukes avvik, men da valgte man likevel å følge påskeformelen. I 1778 ville det også ha vært avvik, men da hadde man allerede besluttet å gå tilbake til å bruke den gregorianske påskeformelen.

Beregninger

Beregningen av datoen for påskedagen kan utføres på flere måter. Her er noen av de mest benyttede i nyere tid:

Gauss' metode (for både juliansk og gregoriansk kalender)

Metoden ble utarbeidet av Carl Friedrich Gauss og publisert i 1816 i artikkelen: «Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes».

Definisjoner

K = årstallet
a = K mod 19
b = K mod 4
c = K mod 7

Definér fra tabell:
Årstall |  M  | N
------------------
Juliansk kalender
           15   6
Gregoriansk kalender
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0
2300-2399  26   1

d = (19a + M) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
Hvis (d + e) < 10, vil påske­dagen være (d + e + 22). mars ellers (d + e – 9). april.

Med unntak av:
26. april erstattes med 19. april.
25. april erstattes med 18. april hvis d = 28, e = 6 og a > 10.

Tallene M og N beregnes slik (skal bare gjøres for gregoriansk kalender, se over):
Hvis k er årstallets to første sifre (hundretallet),
p er kvotienten av divisjonen (13 + 8k)/25 uten hensyn til resten og
q er kvotienten av divisjonen k/4 uten hensyn til resten, så er
M = (15 - p + k - q) mod 30 og
N = (4 + k - q) mod 7.

Meeus/Jones/Butchers formel (bare for gregoriansk kalender)

Denne formelen, som bare gjelder for den gregorianske kalenderen, ble første gang presentert i tidsskriftet Nature i 1876. Siden er den blitt trykt flere ganger bl.a. i bøker av Harold Spencer Jones (side 73) og Jean Meeus. Den er uten unntak, på lik linje med flere av eksemplene under.

Formeloppbygging

Divider	med	Kvotient	Rest
Årstallet (X)	19	–	a
Årstallet (X)	100	b	c
b	4	d	e
b + 8	25	f	–
b − f + 1	3	g	–
19a + b − d − g + 15	30	–	h
c	4	i	k
32 + 2e + 2i − h − k	7	–	l
a + 11h + 22l	451	m	–
h + l − 7m + 114	31	n	p
n = månedens nummer (3 = mars, 4 = april), og p + 1 = dagen i måneden som påske­dagen faller på.

Nedenfor vises formelen implementert med JavaScript.

function EasterSunday (inputYear)  {
  const a = inputYear % 19;
  const b = Math.floor(inputYear / 100);
  const c = inputYear % 100;
  const d = Math.floor(b / 4);
  const e = b % 4;
  const f = Math.floor((b + 8) / 25);
  const g = Math.floor((b - f + 1) / 3);
  const h = (19 * a + b - d - g + 15) % 30;
  const i = Math.floor(c / 4);
  const k = c % 4;
  const l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) % 7;
  const m = Math.floor((a + 11 * h + 22 * l) / 451);
  const n = Math.floor((h + l - 7 * m + 114) / 31);
  const p = ((h + l - 7 * m + 114) % 31) + 1;

  return new Date(`${inputYear}-${n}-${p}`);
};

Meeus' formel (bare for juliansk kalender)

Belgieren Jean Meeus beskrev denne formelen i den andre utgaven (den engelske) av boken sin, «Astronomical Formulæ for Calculators» (side 33), i 1982. Formelen er kort og uten unntak, men den gjelder bare for den julianske kalenderen.

Formeloppbygging

Divider	med	Kvotient	Rest
Årstallet (X)	4	–	a
Årstallet (X)	7	–	b
Årstallet (X)	19	–	c
19c + 15	30	–	d
2a + 4b − d + 34	7	–	e
d + e + 114	31	f	g
f = månedens nummer (3 = mars, 4 = april), og g + 1 = dagen i måneden som påske­dagen faller på.

Lichtenbergs formel (for både juliansk og gregoriansk kalender)

Denne formelen ble publisert av tyskeren Heiner Lichtenberg i Historia Mathematica 24 i 1997: «Zur Interpretation der Gaußschen Osterformel und ihrer Ausnahme­regeln» (sidene 441 – 444). Den er enklere enn Meeus/Jones/Butchers formel, er uten unntak og har også en variant for den julianske kalenderen. Under er den skrevet som norsk Microsoft Excel hvor cellen A1 inneholder et årstall som bør være større enn 325.

Formeloppbygging

Variabel	Juliansk kalender	Gregoriansk kalender	Tyske kommentarer
K	0	=HELTALL(A1/100)	die Säkularzahl.
M	=15	=15+HELTALL((3*K+3)/4)−HELTALL((8*K+13)/25)	die säkulare Mondschaltung.
S	0	=2−HELTALL((3*K+3)/4)	die säkulare Sonnenschaltung.
A	=REST(A1;19)		den Mond­parameter.
D	=REST(19*A+M;30)		den Keim für den ersten Vollmond im Frühling.
R	0	=HELTALL((D+A/11)/29)	die kalendarische Korrekturgröße.
OG	=21+D	=21+D−R	die Ostergrenze.
SZ	=7−REST(A1+HELTALL(A1/4);7)	=7−REST(A1+HELTALL(A1/4)+S;7)	den ersten Sonn­tag im März.
OE	=7−REST(OG−SZ;7)		die Entfernung in Tagen, die der Ostersonntag von der Ostergrenze hat (Oster­entfernung).
OS	=OG+OE		dies ist das Datum des Oster­sonntags, dar­gestellt als März­datum, wobei ein Märzdatum > 31 durch Abziehen von 31 auf ein Aprildatum zu reduzieren ist.

OS er datoen for påske­dagen uttrykt som en dato i mars (OS = 32 betyr 1. april osv.). I en dato-formatert celle i Excel kan fullstendig dato da skrives som:

=DATO(A1;HVIS(OS>31;4;3);HVIS(OS>31;OS−31;OS))

Påskeformler i én enkelt celle i regneark (bare for gregoriansk kalender)

Det kan være fristende å bruke et regne­ark for å beregne den gregorianske datoen for påske­dagen; én enkelt celle er tilstrekkelig. Da er det et par ting man bør være klar over først:
Kalenderen i «Microsoft Office Excel» på PC (og en del andre regneark) begynner med år 1900, som disse regnearkene mener var et skuddår som begynte på søndag. Men det året var ikke skuddår i den gregorianske kalenderen og det begynte på mandag! Fra og med torsdag 1. mars 1900 samsvarer ukedag og dato riktig i disse regnearkene. Dette betyr at hvis man teller antall døgn fra 1. januar 1900, blir det feil etter slutten av februar i 1900. Man må ta hensyn til disse feilene når man f.eks. skal beregne datoen til fastelavns­søndag 1900 (49 døgn før påske­dagen) (riktig dato er 25. februar).

Formlene under kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. «Microsoft Excel» både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):

Norsk:   =AVRUND.GJELDENDE.MULTIPLUM.NED
 (DATO(A2;3;27−DAG(0))+0,97*REST(18,998*REST(A2+8/9;19)+HELTALL(0,68*HELTALL(A2/100)−HELTALL(A2/400)−5/9);30);7)+DAG(1)

Engelsk: =FLOOR(DATE(A2,3,27−DAY(0))+0.97*MOD(18.998*MOD(A2+8/9,19)+INT(0.68*INT(A2/100)−INT(A2/400)−5/9),30),7)+DAY(1)

hvor cellen A2 inneholder det fire-sifrede års­tallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 9999. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato.

Det finnes også forenklede formler for beregning av påskedagens gregorianske dato, men disse gjelder bare for et begrenset tids­rom. Dette kan likevel være tilstrekkelig for å finne datoen(e) for påskedagen i en kortere periode. Flere av dem kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. «Excel» både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):

Norsk: =AVRUND(DATO(A3;4;1−DAG(0))/7+REST(19*REST(A3;19)−7;30)*0,14;0)*7−6+DAG(0)

Engelsk:  =ROUND(DATE(A3,4,1−DAY(0))/7+MOD(19*MOD(A3,19)−7,30)*0.14,0)*7−6+DAY(0)

hvor cellen A3 inneholder det fire-sifrede års­tallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 2203. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato. Den viste formelen vil gi riktig dato for påskedagen til og med år 2203. Deretter gir den hyppige feil (bl.a. i år 2204, 2207 og 2209). Andre forenklede formler kan gi feil dato for år 2079 også.

Se også

• Epakt
• Gyldentall
• Søndagsbokstav
• Solsyklus
• Ukedager
• Ukenummer

Eksterne lenker

• http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/phenomenes/eclipses/lune/ Les éclipses de Lune (fransk).
• http://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html NASA Eclipse Web Site (engelsk).