Permutacioni

Permutacion i një bashkësie të fundme quhet çdo renditje e të gjitha elementeve të saj në varg. Për shembull të gjitha permutacionet e bashkësisë A={1,2,3} janë:

$123,132,213,231,312,321\,$

Shohim se kjo bashkësi ka gjithsejt 6 permutacione. Ngjajshëm vërejmë se bashkësia me 4 elemente $B=\{1,2,3,4\}\,$ ka 4 herë më shumë permutacione se bashkësia A sepse lehtë vërejmë se çdo permutacion i A gjeneron 4 permutacione të B ashtuqë elementin 4 e vendosim në fillim, në mes dy elementeve të para, në mes elementit të dytë dhe elementit të tretë ose në fund të vargut gjegjësisht permutacionit të baashkësisë A. Në këtë mënyrë permutacioni 123 i A gjeneron këto 4 permutacione të B

$4123,1423,1243,1234\,$

permutacioni 132 i A gjeneron këto 4 permutacione të B

$4132,1432,1342,1324\,$

permutacioni 213 i A gjeneron këto 4 permutacione të B

$4213,2413,2143,2134\,$

permutacioni 231 i A gjeneron këto 4 permutacione të B

$4231,2431,2341,2314\,$

permutacioni 312 i A gjeneron këto 4 permutacione të B

$4312,3412,3142,3124\,$

dhe në fund permutacioni 321 i A gjeneron këto 4 permutacione të B

$4321,3421,3241,3214\,$

Numri i permutacioneve

Le të jetë dhënë një bashkësi me $n\,$ elementeatëherë me $p_{n}\,$ e shënojmë numrin e permutacioneve të saj. Do të do të tregojmë se

$p_{n}=n!\,$

Për të konstruktuar një permutacion ka $n\,$ mënyra të ndryshme për të zgjedhur elementin e parë. Pas zgjedhjes së tij mbeten, $n-1\,$ elemente prej të cilave zgjedhim një dhe e vendosim në vendin e dytë në $n-1\,$ mënyra. Kështu për vendosjen e dy elementeve të para ekzistojnë gjithsejt

$n(n-1)\,$ mënyra.

Për zgjedhjen e elementit të tretë mbesin $n-2\,$ elemente, prandaj me plotësimin e tre vendeve të para fitohen,

$n(n-1)(n-2)\,$ permutacione.

Duke vazhduar në këtë mënyrë derisa të mbeten dy elemente të pazgjedhur për të cilat mbeten 2 mundësi, në fund mbetet një element praandaj për numrin e të gjitha permutacioneve prej $n\,$ elementesh e fitojmë formulën gjegjësisht numrin

$n(n-1)(n-2)...2\times 1=n!\,$.