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Potenciación

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Gráfica de varias funciones potencia.

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base y exponente . Se escribe y se lee normalmente como « elevado a la ». Hay algunos exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado, y el 3, que se lee al cubo. Exponentes mayores que el 3 (cubo) suelen leerse de manera ordinal: «elevado a la cuarta, quinta, sexta, etc. potencia».

Definición

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La potenciación es la toma de un número denominado base como factor tantas veces como lo indique otro número denominado exponente.

Se llama potencia a una expresión de la forma , donde es denominada base y es denominado exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente. La base se multiplica por sí misma las veces indicadas por el exponente, es decir, si decimos "elevar al cuadrado" se refiere a "multiplicar dos veces" y si decimos "elevar al cubo" se refiere a "multiplicar tres veces".

Exponente natural

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Cuando el exponente es un número natural (), este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

(1)

Esta definición puede aplicarse tanto a números reales como complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, que pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base

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Se conserva la base y se suman los exponentes; es decir:

Ejemplos:

Potencia de una potencia en matriz cuadrada

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La potencia de una potencia en matriz cuadrada es igual a la potencia de base y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como .

Potencia de un producto

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La potencia de un Producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:


Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo (), entonces se tiene la regla:

si es par.

si es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo , es decir o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2)

Observación

División de potencias de igual base

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El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor,[1]​ esto es:

De forma extendida aparecen tres casos:

Ejemplo:

Potencia de exponente 0

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Por convención, un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:[2][3]

El caso particular de no está definido y es conocido como una indeterminación.

Potencia de un cociente

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La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

O de forma extendida:


Si la base , entonces no tiene inverso multiplicativo , por lo que solo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:

Exponente racional

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La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar, por el teorema de existencia y unicidad de las raíces cuadradas, que dicha sea un número real y esto solo se puede garantizar para todo si la base a es un número real positivo:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3)

Observación

En general para las fracciones se define que:

(4)

Relación

Propiedades

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Exponente real

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La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se escribe como:

Nótese que las sucesivas aproximaciones de tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo. Esta definición anterior se apoya en que los números racionales constituyen un subconjunto denso en el conjunto de los números reales:

.

Alternativamente, se puede definir la potenciación usando la función exponencial y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciación. Para dos números reales e , con la condición , la potenciación se puede expresar de la siguiente manera:

.

Esta fórmula proporciona una forma general de calcular potencias cuando la base es un número real positivo, lo que resulta en una extensión útil del concepto de exponenciación.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones. Así, se define

.

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto imagen de es el conjunto de los números reales positivos , o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente números reales cualquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Exponente complejo

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Puede extenderse a exponentes complejos usando funciones analíticas o holomorfas, así donde det-exp es la determinación de la exponencial y det-log es la determinación del logaritmo natural.

Resultados de potenciación

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Propiedades que no cumple la potenciación

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No es distributiva con respecto a la adición y sustracción (véase productos notables), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10

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Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

Las potencias de base 10 se utilizan con frecuencia para expresar números grandes (con muchas cifras) o pequeños (con muchos decimales). Por ejemplo, el número decimal 0,00000123 puede expresarse como . Esa forma de escribir los números se conoce como notación científica.[4]

Representación gráfica

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La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n par tiene una simetría similar a la de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una función potencia f(x) = xn con exponente natural n impar es una curva con dos ramas unidas en el punto (0, 0), que posee simetría rotacional alrededor de este. El punto de inflexión precisamente se encuentra en el punto (0, 0), la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables en todo su dominio de definición.

Gráfico de una parábola.
Gráfico de una parábola.  
Gráfico de .
Gráfico de .  

Límites

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Indeterminación 00

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El caso especial se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que es el igual al valor del límite

y como para , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

y como para , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma puede corresponder a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma tiene casi dos siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que =1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, dicha forma aparece en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los años 1830, Libri[5][6]​ publicó un argumento para asignar 1 como valor de y Möbius[7]​ lo apoyó afirmando erróneamente que

siempre que

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

cuyo límite cuando es , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[8]

En la actualidad, suele considerarse la forma como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido.[9][10][11]

Para calcular límites cuyo valor aparente es suele usarse la regla de l'Hôpital.

Generalizaciones

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Extensión a estructuras abstractas

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La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Dado un anillo la operación de potenciación se define como:

Esto difiere de la exponenciación que es definible sobre un cuerpo que contenga a los racionales o ciertas álgebras sobre los reales o complejos:

Obviamente la exponenciación solo se puede definir sobre un conjunto en el que sea posible definir la potenciación, aunque un anillo admitirá siempre la operación de potenciación (con exponente natural) aunque no admita la exponenciación.

Potencia de números complejos

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Para cualquiera de los números reales se tiene la identidad:

Véase también

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Referencias

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  1. Dolciani-Berman-Wooton, Algebra Moderna y Trigonometría. ISBN 968-439-024-6
  2. Soler, Francisco; Nuñez, Reinaldo; Aranda, Moises (2004). «1. Álgebra básica». Fundamentos de Cálculo. Con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas (2ª edición). ECOE EDICIONES. p. 14. ISBN 9586482901. 
  3. Weisstein, Eric W. «Exponent Laws». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  4. Llopis, José L. «Notación científica». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 1 de octubre de 2019. 
  5. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  6. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
  7. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134-136.
  8. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403-422.
  9. Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (en inglés). Universidad de Utah. Archivado desde el original el 21 de junio de 2018. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!» 
  10. Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.» 
  11. Gentile, Enzo R. (1976). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. p. 56. «Es útil también definir en el caso x≠0, x0=1. ( queda indefinido).» 

Bibliografía

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Enlaces externos

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