Prinsip Fermat

Prinsip Fermat atau principle of least time adalah sebuah prinsip yang mendefinisikan jarak tempuh yang terpendek dan tercepat yang dilalui oleh cahaya. Prinsip ini kadang-kadang digunakan sebagai definisi sinar, sebagai cahaya yang merambat sesuai prinsip Fermat.

Prinsip ini merupakan penyederhanaan yang dilakukan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1667 dari konsep-konsep serupa sebelumnya dari berbagai macam percobaan refleksi cahaya. Pada pengembangan teori-teori cahaya, prinsip Fermat selalu ditilik ulang dan disempurnakan.

Pada hukum Snellius, dijelaskan rasio yang terjadi akibat prinsip ini sebagai:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,,$

walaupun terdapat keraguan metode yang digunakan Willebrord Snellius pada tahun 1621 untuk menentukan nisbah kecepatan cahaya mengingat bahwa cahaya baru dipastikan mempunyai kecepatan yang konstan pada tahun 1676 oleh Ole Christensen Rømer. Dan Isaac Newton baru pada tahun 1675 menyatakan bahwa partikel cahaya mempunyai kecepatan yang lebih tinggi pada medium yang lebih padat, akibat gaya gravitasi, walaupun teori ini kemudian dibuktikan adalah keliru.

Isaac Newton dengan persamaan gaya yang sangat terkenal:

$F=m\,a\,,$

yang mendefinisikan massa sebagai kelembaman benda terhadap perubahan kecepatan, dapat menjabarkan hukum Snellius sebagai teori partikel cahaya:

$m\,a=n\,\sin \theta$

karena analogi indeks bias dengan massa dan percepatan dengan perubahan sudut sinar bias terhadap perubahan sudut sinar insiden. Dan mendefinisikan prinsip Fermat sebagai prinsip kekekalan gaya dengan sinar cahaya sebagai gaya yang memicu kecepatan massa pada jarak tempuhnya.

$F_{1}=F_{2}\,$

sehingga:

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\ .$

Dan dengan penurunan persamaan ini, banyak yang menyangsikan bahwa Isaac Newton mengatakan kecepatan cahaya pada medium yang lebih padat menjadi lebih cepat.

Prinsip Fermat disebut sebagai konsekuensi extremum principle of wave mechanics dari teori gelombang yang dipresentasikan Christiaan Huygens pada tahun 1690 yang kemudian disebut prinsip Huygens, dengan menambahkan parameter panjang gelombang pada nisbah hukum Snellius:

..of all secondary waves (along all possible paths) the waves with the extrema (stationary) paths contribute most due to constructive interference.

sebagai kecenderungan gelombang cahaya untuk merambat melalui jarak tempuh yang stasioner yang membentuk sudut tertentu terhadapat normal antarmuka dua medium.

Kecepatan dan waktu

Kecepatan dalam mekanika klasik didefinisikan sebagai pergeseran posisi dalam kurun waktu:

$\mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}$

Jika pada diagram ditumpangkan sebuah lingkaran dengan jari-jari yang disebut kurun waktu $\Delta t$, dan menggabungkan dengan persamaan hukum Snellius dengan hukum Newton sebagai berikut:

$\sin \theta =\mathrm {d} \mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}$

maka:

$\mathbf {v} =\sin \theta \int \mathrm {d} t$

Persamaan ini mendefinisikan kecepatan sebagai proyeksi berjalannya waktu terhadap rentang sudut pengamatan pengamatnya. Sebagai contoh, sebuah kereta api yang berjalan pada kecepatan yang sama, jika diamati dari jarak dekat akan terasa lebih cepat daripada jika diamati dari kejauhan, karena sudut pandang pengamatan yang lebih kecil, pada kurun waktu pengamatan yang sama.

Prinsip Fermat menyatakan bahwa jarak tempuh refraksi yang membias adalah jarak tempuh yang tersingkat bagi cahaya. Pernyataan ini dari sudut pandang geometris adalah keliru sama sekali, karena jarak tempuh yang tersingkat adalah sebuah garis lurus yang menghubungkan dua buah titik pada satu bidang. Dilihat dari sudut pandang kenisbian, cahaya yang membias merupakan arah rambat waktu yang melengkung akibat ketergantungan terhadap kecepatan. Ini berarti bahwa waktu ada karena adanya gerakan pada kecepatan tertentu.

Waktu masih mempunyai proyeksi yang lain berupa kecepatan pada sumbu normal yang lepas dari pengamatan, sehingga waktu menurut prinsip Fermat adalah bilangan kompleks yang terdiri dari dua unsur kecepatan, yaitu kecepatan kejadian yang diamati oleh pengamat dari kecepatan tertentu.

Jarak tempuh dalam mekanika klasik ditulis ulang berdasarkan sudut pengamatan menjadi:

$\mathrm {d} \mathbf {x} =\mathbf {v} \,\sin \theta \,\mathrm {d} t$

yang ditunjukkan oleh luas area di antara waktu dan kecepatan.

Gaya dan massa

Pada hukum Newton, gaya ditentukan menurut persamaan:

$\mathrm {d} F=\mathbf {m} \cdot \mathrm {d} a$

Persamaan ini mengatakan bahwa gaya adalah produk sebuah massa yang mengalami percepatan, sesuai dengan hukum Newton yang pertama, yang menyebutkan bahwa benda yang mempunyai massa akan mempunyai kecepatan yang konstan dan akan mengalami percepatan pada saat dikenai gaya. Dengan penggabungan dengan prinsip Fermat, diperoleh persamaan sebagai berikut:

$\Delta \mathbf {n} ={\mathbf {c} \over \mathbf {v} }-{\mathbf {c} \over \mathbf {c} }=\Delta \mathbf {m}$

yang menjadi addendum hukum Newton yang pertama dengan mengaitkan pengurangan massa dengan penambahan kecepatan dan sebaliknya, sehingga terjadi relasi antara impulsi percepatan dengan perubahan massa. Sebagai contoh, dapat dilihat pada kejadian saat sebuah pesawat terbang atau kapal laut yang membuang sebagian muatan untuk mempertahankan kecepatan.

Persamaan hukum Newton kemudian ditulis ulang menjadi menurut prinsip Fermat:

$\mathrm {d} F=\mathbf {m} \cdot \mathrm {d} a+\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} m$

Menurut persamaan tersebut, gaya didefinisikan ulang sebagai bilangan kompleks produk dari sifat kebendaan suatu materi dan sifat gelombang materi tersebut. Persamaan ini kemudian dikenal dengan teori partikel cahaya yang mendefinisikan massa dari gelombang cahaya. Gaya adalah penjumlahan produk dari massa yang mengalami percepatan dan produk dari bertambahnya/berkurangnya sebagian dari massa akibat percepatan yang dialaminya.