Puikkolaskenta

Puikkolaskenta on kiinalainen menetelmä, jossa tehtiin laskutoimituksia puikkojen avulla Kiinassa ja sen lähialueilla. Sitä käytettiin taistelevien läänitysvaltioiden aikakaudelta (476–221 eaa.) Ming-dynastiaan (1368–1644 jaa.) asti, jolloin puikkolaskenta korvattiin nopeammalla helmitaululla. Helmitaulu on nopeampi peruslaskutoimitusten suorittamiseen, mutta se on rajoitetumpi: sillä ei voi hyvin hahmottaa yhtälöitä eikä varsinkaan yhtälöryhmiä. Tämä varmasti osaltaan vaikutti siihen, että matriisilaskennan kehitys taantui useiksi vuosisadoiksi.

Japanilainen puikkolaskupöytä.

puikkolaskentakuva Yonglen tietosanakirjasta.

Välineet

Puikkolaskentaan tarvittavat välineet ovat kimppu laskentapuikkoja ja laskentapöytä. Laskentapuikot olivat yleensä bambusta tehtyjä, noin 12–15 cm pitkiä ja 2–4 mm paksuja, joskus eläintenluista tai norsunluusta ja jadesta (hyvin varakkailla kauppiailla). Laskentapöytä voi olla pöytälevy, puinen levy, jossa voi olla ristikko ja jota pidettiin pöydällä tai hiekalla. Vuonna 1971 kiinalaiset arkeologit saivat kaivettua esiin Xinjiangin maakunnasta löydetystä haudasta kimpun hyvin säilyneitä eläintenluista valmistettuja laskentapuikkoja, jotka olivat säilytettynä silkkipussissa. Näiden arvioidaan olevan peräisin Han-dynastian ajalta (206 eaa. — 8 jaa). Vuonna 1975 löydettiin kimppu bambuisia laskentapuikkoja.

”Ohjelmisto”

Tärkein tarvittava ”ohjelmisto” puikkolaskimen käyttöön oli 45-lauseinen kertotaulu, jota Kiinassa on käytetty ammoisista ajoista asti, nimeltään yhdeksän-yhdeksän taulu, jonka opettelivat ulkoa niin koululaiset kuin kauppiaat, virkamiehet ja matemaatikot. Muu tarvittava ohjelmisto on alla esitellyt algoritmit.

Puikkonumerot

Numeroiden esittäminen

231 ja sekaantumisvaihtoehdot

Puikkonumerot ovat ainoa järjestelmä, joka käyttää yhtä ainoaa merkkiä eri paikoissa osoittamaan mitä tahansa numeroa tai desimaalilukua. Ykkösten kohdalla ollessaan jokainen pystysuora puikko vastaa aina yhtä lisäkappaletta. Kaksi pystysuoraa tarkoittaa 2 näin aina lukuun 5 asti. Numerot 6-9 ilmoitetaan numeroa 5 edustavan vaakasuoran puikon ja pystysuorien puikkojen summana. Luvut, jotka ovat suurempia kuin 9 ilmoitetaan käyttäen kymmenjärjestelmään pohjautuvaa positiojärjestelmää. Luvut, jotka ovat itseisarvoltaan ykköstä pienempiä, ilmoitetaan desimaalilukuina. Parittomia kymmenenpotensseja (kymmenet, tuhannet, ... kymmenesosat jne.) ilmaisevat luvut laitetaan vaakasuoraan sekaantumisen välttämiseksi. Laskutoimituksia suoritettaessa ei yleensä käytetty apuviivoja tai ruudukkoa. Kuvassa on havainnollistettu sekaantumisen mahdollisuuksia: lukua 231 voisi luulla luvuiksi 51 tai 24.

Nollien esittäminen

Puikkolaskennassa nollaa edusti aukko, joka toimi sekä numerona että paikan osoittajana. Kirjoitettaessa puikkonumeroita käytettiin samanlaista nollaa kuin arabialaisissa numeroissa. Oikealla olevassa kuvassa nollaa edustaa vain aukko.

Negatiiviset ja positiiviset numerot

Song matemaatikot käyttivät punaisia puikkoja positiivisille luvuille ja mustia negatiivisille luvuille. Toinen tapa on laittaa ykkösten päälle vinoon puikko kuvastamaan negatiivisuutta.

Desimaaliluvut

Desimaalilukuja käytettiin samalla tavalla kuin nykyisin. Esimerkkinä 1,1446154

日

Yhteenlasku

Puikkonumeroilla laskettu 3748+289=4037

Arabialaisista numeroista poiketen puikkolaskenta itsessään perustuu yhteenlaskuun. Arabialaisista numeroista 1 ja 2 ei voi mekaanisesti yhdistämällä saada numeroa 3 kuten puikkoluvuilla. Oheinen animaatio esittää lukujen 3748 ja 289 summaa.

1. Laita isompi luku ensimmäiselle riville, toinen luku toiselle riville.
2. Laske vasemmalta oikealle, ensin 2, joka osoittaa satoja luvussa 289.
3. Ota kaksi puikkoa alhaalta ja yhdistä ne yläpuolella olevan 7:n kanssa muodostaen 9.
4. Ota ylhäältä 2 puikkoa ja yhdistä ne alla olevaan 8; siirrä yksi puikko satoihin, jolloin niistä muodostuu yksi täysi tuhat (eli poista satasten pino sekä alempi kymmenien pino ja lisää yksi tuhat).
5. Ota ylhäältä yksi puikko ja yhdistä se alla olevan 9 kanssa ja lisää 2 kymmeniä osoittavaan puikkolukuun kolmas puikko.
6. Summa 3748 +289 = 4037.

Ylemmän luvun puikkojen määrä muuttuu laskutoimituksen aikana kun taas alemman luvun puikot häviävät.

Vähennyslasku

Ilman lainausta

Esimerkkinä ohessa esitetty 54-23 = 31

Lainausvähennyslasku

Alla selitetty lainausvähennyslaskun vaiheet. Esimerkkinä 4231-789.

1. Laita vähennettävä 4321 ylemmälle riville ja sen alapuolelle vähentäjä 789.
2. Laske vasemmalta oikealle.
3. Lainaa yksi tuhansista, se vastaa 10 satasta, vähennä siitä 7 satasta jää kolme satasta lisää nämä kolme yläpuolella olevaan 2 tulee 5 (3531 -89).
4. Poista 7 satasia osoittanutta puikkoa, jolloin tiedetään että satasten vähennyslasku on jo suoritettu.
5. Vähennettäessä kymppejä lainaa yksi satanen, joka on siis 10 kymppiä. 10 kymppiä – 8 kymppiä= kaksi; lisää ne yllä olevaan 3 kymppiin tulee yhteensä 5 (3451 – 9)
6. Vähennettäessä ykkösiä lainaa yksi kymppi. 10 – 9 jää yksi lisää se yhteen yllä olevaan puikkoon. (3442)
7. Lopulta alemmalta riviltä on kaikki puikot poistuneet ja ylemmälle riville on jäänyt luku 3442 joka on vastaus.

Kertolasku

38x76=2888

al Uqlidis'n (v.952) kertolasku, joka on Sun zi menetelmän muunnelma

Sun Zi (ei Sun Tzu, joka kirjoitti Sodankäynnin taidon) kuvasi kertolaskutoimituksen yksityiskohtaisesti kirjassa "Sun Zin matemaattinen klassikkoteos". Oikealla esitettynä askeleet tulon 38 x 76 laskemiseksi.

1. Laita kerrottava ylös. Jätä rivi väliä. Kohdista kertoja siten, että kertojan ykkönen on samalla sarakkeella kerrottavan isoimman yksikön kanssa.
2. Aloita kertomalla kertojan suurimmalla luvulla (tässä tapauksessa 30x76 ja sen jälkeen 8x76).
3. Kertotaulun pohjalta tiedetään että 3 kertaa 7 on 21. Laita 2 ja 1 puikkoa keskelle siten että 1 on samassa sarakkeessa kuin kertojan 7. (70x30= 2 100)
4. 3 kertaa 6 on 18. Aseta 8 kertojassa olevan 6 yläpuolelle. (76x30=2100 + 180= 2280)
5. Poista ylhäältä 3, sillä sen kertominen on saatettu loppuun.
6. Siirrä kertojaa 76 yksi askel oikealle ja muuta 7 vaakamuotoon ja 6 pystymuotoon.
7. 8x7=56. Aseta 56 keskelle 7 yläpuolelle. (2280 + 8x70= 2280+560=2840)
8. Poista 7 sillä sen kertolaskut on jo kaikki suoritettu
9. 8x6=48
10. 2840 + 48 = 2888

Jakolasku

10.vuosisadan al-Uqlidis jakotapa

Sunzi jakotapa ${\tfrac {309}{7}}=44{\tfrac {1}{7}}$

Sunzi jakotavan kaltainen al Khwarizmin jakotapa vuodelta 825 jaa.

11. vuosisadan Kushyar ibn Labban jakotapa, joka on kopio Sunzi-jakotavasta.

Vieressä olevassa animaatiossa on kuvattuna askeleet

${\frac {309}{7}}=44{\frac {1}{7}}$

1. Laita jaettava, 309 keskiriville
2. jakaja 7 alariville kolmosen alapuolelle
3. jätä ylös tilaa vastaukselle.
4. Koska 3 ei ole jaettavissa 7:llä siirrä lukua 7 yksi pykälä oikealle ja käännä se vaakamuotoon.
5. 7 menee 30:een 4 kertaa ja jää jakojäännös 2. Laita 4 nollan yläpuolelle (vaakamuotoon) ja
6. jakojäännös 2 sen alapuolelle.
7. Siirrä jakaja 7 pykälä oikealle ja käännä se pystymuotoon.
8. 29/7= 4 jää 1
9. Laita neljä puikkoa (pystymuodossa)ylös
10. 29-4x7= 29-28=1
11. Lopputulos on siis $44{\tfrac {1}{7}}$

Al-Khwarizm vei vuonna 825 Sunzin jakolaskualgoritmin muuttumattomana intialaisista lähteistä islamilaisiin maihin. Al-Khwarizmin kirja käännettiin latinaksi 1200-luvulla, ja Sunzin algoritmista kehittyi myöhemmin Euroopassa Galleyn jakolaskualgoritmi. Abu'l-Hasan al-Uqlidin vuonna 925 julkaistussa kirjassa Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi ja Ḱushyar ibn Labbanin kirjassa Hindulaiset laskuperiaatteet olevat jakoalgoritmit ovat samat kuin Sunzun jakoalgoritmi.

Murtoluvut

Mikäli jakolaskusta jää jäännös, sekä jakaja että jakojäännös on jätettävä paikoilleen toistensa päälle. Liu Huin kommenteissa kirjaan Jiǔzhāng Suànshù (100-luku eaa.) eli Matemaattisen taiteen 9 kappaletta ylälukua kutsuttiin sanalla shi ja alalukua sanalla fa. Sun Zin laskemisklassikossa ylhäällä olevaa lukua kutsuttiin nimellä zi tai fenzi (kirjaimellisesti jakolaskun poika), ja alla olevaa kutsuttiin nimellä mu tai fenmu (kirjaimellisesti jakolaskun äiti). Fenzi ja Fenmu ovat osoittajan ja nimittäjän nykytermit. Kuvassa osoittaja 1 on edellisen tehtävän jakojäännös; 7 on jakaja, nimittäjä. Yhdessä ne muodostavat murtoluvun ${\tfrac {1}{7}}$.

Murtolukujen yhteenlasku

rod calculus fraction addition

${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{5}}$

1. Laita osoittajat 1 ja 2 vasemmalle puolelle.
2. Laita nimittäjät oikealle puolelle.
3. Kerro ristiin 1x 5=5 ja 2 x3=6.
4. Korvaa nimittäjät ristituloillaan.
5. Kerro nimittäjät 3x5=15 ja laita se oikealla alas.
6. Laske osoittajat yhteen (5+6=11)
7. ja merkitse se nimittäjän yläpuolelle.
8. Vastaus on 11/15.

Tämä on kirjasta Jiǔzhāng Suànshù tehtävä I-7.

Murtolukujen vähennyslasku

subtraction of two rod numeral fracttions

${\frac {8}{9}}-{\frac {1}{5}}$

1. Laita osoittajat 1 ja 8 vasemmalle.
2. Laita nimittäjät 5 ja 9 oikealle.
3. Kerro ristiin 1x9= 9 ja 5x 8= 40.
4. Korvaa nimittäjät uusilla.
5. Kerro nimittäjät keskenään 5x9= 45
6. ja laita se oikeaan alakulmaan
7. Vähennä nimittäjät 40-9= 31.
8. Laita se oikealle luvun 45 yläpuolelle.
9. Vastaus 8/9 - 1/5 = 31/45

Murtolukujen kertolasku

rod calculus fraction multiplication

$3{\frac {1}{3}}\times 5{\frac {2}{5}}$

1. Järjestä laskupuikot 3 1/3 ja 5 2/5 laudalle
2. shang kokonaisluvut (ylin) 3 ja 5
3. shi (toiseksi ylin) osoittajat 1 ja 2
4. fa (alin) riviin nimittäjät.
5. Keskiriviin (=shi) lisätään ylärivi (=shang) kerrottuna alarivillä (=fa) eli 1+3x3= 10 ; 2+5x5= 27
6. keskirivin (shi) luvut kerrotaan keskenään 10x27= 270
7. alarivillä (fa) olevat nimittäjät kerrotaan keskenään 3x5=15
8. keskirivi (shi) jaettuna alarivillä (fa) 270/ 15 = 18

Korkein yhteinen tekijä ja supistaminen

Korkeimman yhteisen tekijän etsiminen

Kirjassa Matemaattisen taiteen 9 kappaletta kuvataan algoritmi korkeimman yhteisen tekijän löytämiseksi ja supistaminen. Korkein yhteinen nimittäjä löytyy Eukleideen menetelmällä vähentämällä iteratiivisesti aina isommasta luvusta pienempi kunnes erotus on yhtä suuri kuin vähentäjä. Oheinen animaatio kuvaa luvun ${\frac {32450625}{59056400}}$ supistamista. Tässä tapauksessa korkein yhteinen nimittäjä on 25. Kun nimittäjän ja osoittajan jakaa luvulla 25 tulee ${\frac {1298205}{2362256}}$

Interpolaatio

π in fraction

Kalenterin laatija ja matemaatikko He Chengtian käytti murtoluvun interpolointimenetelmää, jota hän kutsui ”päivä jakajan harmonisoinniksi” parantaakseen vanhaa likiarvoa iteroivasti lisäämällä ”heikompaan” murtolukuun vahvemman murtoluvun. Zu Chongzin arvo $\pi$:lle ${\frac {355}{113}}$ on saatettu löytää He Chengtianin menetelmällä.

Lineaarinen yhtälöryhmä

Kirjassa Jiuzhang suanshu, Matemaattisen taidon yhdeksän lukua, annettiin algoritmi lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Ongelmassa VIII-1 oletetaan, että 3 kimppua parasta laatua viljaa, 2 kimppua keskilaatua ja yksi kimppu huonointa laatua on yhteensä 39 doun verran. Parasta 2, keskilaatua 3 kimppua ja 1 kimppu huonointa laatua on yhteensä 34 doun verran ja 1 kimppu parasta, 2 keskilaatuista ja 3 huonointa laatua on yhteensä 26 douta. Selvitettävänä on, minkä verran parasta, keski- ja huonointa laatua. Algebrallisesti tämä voidaan ilmaista kolmena yhtälönä, joissa on kolme tuntematonta.

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y +3z = 26

Tämä oli ratkaistu Jiuzhang suanshussa puikkolaskimella laittamalla luvut 3x4 matriisiin, jota on länsimaisen matriisiin verrattuna kierretty 90 astetta myötäpäivään.

quality	left column	center column	right column
top
medium
low
shi

Algoritmi:

1. Kerro keskisarake oikean sarakkeen ylimmällä luvulla.
2. Vähennä toistuvasti oikea sarake keskimmäisestä sarakkeesta kunnes ylin luku on 0.
3. Kerro vasensarake oikean sarakkeen ylimmällä luvulla.
4. Vähennä toistuvasti oikea sarake vasemmanpuoleisesta sarakkeesta kunnes ylin luku on 0.

Sen jälkeen, kun yllä olevaa eliminaatiota oli sovellettu oikeanpuoleiseen ja keskimmäiseen sarakkeeseen, matriisi saatettiin kolmiomuotoon

quality	left column	center column	right column
top
medium
low
shi

Huonointa laatua oli =${\frac {99}{36}}=2{\frac {3}{4}}$ douta. Siitä saatiin helposti lasketuksi muiden laatujen osuudet: parasta laatua viljaa 9 dou ${\frac {1}{4}}$ ja keskilaatua=4 dou ${\frac {1}{4}}$>