Rapiditet

Rapiditet je veličina srodna brzini koja se koristi u fizici u teoriji relativnosti. Matematički se može definirati kao hiperbolni kut između dva referentna sustava koji se gibaju jedan u odnosu na drugi.

Prednost korištenja rapiditeta u odnosu na brzinu pri relativističkim brzinama je činjenica da je rapiditet aditivan pri gibanju u jednoj dimenziji. Drugim riječima, ako se neki objekt jednoliko giba brzinom v₁ i rapiditetom y₁ u odnosu na promatrača A, a dotični promatrač se giba u istom smjeru brzinom v₂ i rapiditetom y₂ u odnosu na promatrača B, tada kretanje objekta u odnosu na promatrača B možemo rapiditetima jednostavno opisati kao

$y=y_{1}+y_{2},$

dok za brzinu vrijedi kompliciranija jednakost

$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}.$

U odnosu na brzinu, rapiditet se definira kao

$y=\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}},$

gdje je v brzina kretanja, c brzina svjetlosti, a Arth označava funkciju area tangens hiperbolni (inverz tangensa hiperbolnog).

Pri malim brzinama, rapiditet je proporcionalan brzini; $y\approx v/c$. No kako se brzina približava brzini svjetlosti, rapiditet brže raste i teži u beskonačnost. U teoriji relativnosti za sve moguće brzine masenih čestica vrijedi $-c<v<c$ odnosno $-1<v/c<1$. Kako je domena area tangensa hiperbolnog interval $\langle -1,1\rangle$, a slika svi realni brojevi, tako se i interval $-c<v<c$ preslikava u $-\infty <y<\infty$.

Povijest

Hermann Minkowski je 1908. primijetio da se Lorentzova transformacija može opisati kao hiperbolna rotacija (rotacija za imaginarni kut) u prostorvremenskim koordinatama. Time dobivamo veličinu koja se može zbrajati u okviru teorije relativnosti na isti jednostavan način kao što se zbrajaju brzine u klasičnoj mehanici. Opis kuta pomoću rapiditeta dali su 1910. Vladimir Varićak i E. T. Whittaker, a naziv je rapiditetu sljedeće godine nadjenuo Alfred Robb.

Rapiditet u jednoj prostornoj dimenziji

Lorentzova transformacija može se prikazati kao matrični produkt uz pomoć rapiditeta

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {ch} y&-\operatorname {sh} y\\-\operatorname {sh} y&\operatorname {ch} y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (y){\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}$.

Lako se pokaže da vrijedi $\mathbf {\Lambda } (y_{1}+y_{2})=\mathbf {\Lambda } (y_{1})\mathbf {\Lambda } (y_{2})$, iz čega proizlazi svojstvo aditivnosti rapiditeta. Neka su A, B i C referentni sustavi, a y_XY označava rapiditet kretanja referentnog sustava X u odnosu na Y; tada vrijedi

$y_{\text{AC}}=y_{\text{AB}}+y_{\text{BC}}$.

Lorentzov faktor γ također se može prikazati kao kosinus hiperbolni od rapiditeta:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\operatorname {ch} y.$

Odnos relativističnog Dopplerovog efekta i rapiditeta je:

$z=e^{y}.$

U četverodimenzionalnom prostorvremenu

Neka je brzina objekta $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\beta }}c$. Rapiditet se tada opisuje kao vektor $\mathbf {y} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\operatorname {Arth} \beta$, gdje je ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ jedinični vektor u smjeru vektora ${\boldsymbol {\beta }}$.

Zbroj rapiditeta y₁ i y₂ razdvojenih kutom α može se izraziti kao:

$\operatorname {ch} y=\operatorname {ch} y_{1}\operatorname {ch} y_{2}+\operatorname {sh} y_{1}\operatorname {sh} y_{2}\cos \alpha .$

U fizici elementarnih čestica

Energija E i količina gibanja p masene čestice su:

$E=\gamma mc^{2}$

$p=\gamma mv.$

Koristeći definiciju rapiditeta y = Arth v/c možemo izvesti:

$\operatorname {ch} y=\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v}{c}}}}}=\gamma$

$\operatorname {sh} y=\operatorname {sh} \left(\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v}{c}}}}}=\beta \gamma ,$

što možemo uvrstiti u prijašnje formule da energiju i količinu gibanja izrazimo pomoću rapiditeta:

$E=mc^{2}\operatorname {ch} y$

$p=mc\operatorname {sh} y.$

Obratno, vrijedi i

$y=\operatorname {Arth} {\frac {pc}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+pc}{E-pc}}=\ln {\frac {E+pc}{mc^{2}}}.$

U eksperimentalnoj fizici elementarnih čestica koristi se promijenjena definicija rapiditeta, u odnosu na z-os, koja je os kojom se gibaju čestice ubrzane u eksperimentu:

$y_{z}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}.$

To je rapiditet Lorentzove transformacije između referentnog sustava laboratorija i sustava u kojem se čestica kreće okomito na z-os.

Pri proučavanju sudara čestice fizičari obično koriste pseudorapiditet, koji se ovdje lakše mjeri nego rapiditet, a i dobra je aproksimacija pri relativističkim brzinama, jer teži k rapiditetu kako se brzina približava c:

$\eta =-\ln \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}},$

gdje je θ kut između smjera kretanja izlazne čestice i osi sudara.