Rationaalinen trigonometria

Rationaalinen trigonometria on Norman J. Wildbergerin (University of New South Wales (UNSW) Sydney, Australia) ehdottama vaihtoehtoinen formulaatio metristen avaruuksien sekä taso- ja avaruusgeometrian teorialle. Hänen vuoden 2005 kirjassaan Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry (ja myöhemmin YouTube-videoilla) esitetään trigonometrian ja geometrian menetelmiä, jotka ovat riippumattomia äärettömyydestä, rajankäynnistä ja transkendenttifunktioiden kuten sini ja kosini käyttämisestä.

Lähestymistapa

Rationaalisen trigonometrian teoria nojaa vahvasti lineaarialgebraan ja tunnettuihin geometrian aiheisiin. Uutta kalkyylia varten etäisyys korvataan sen neliöllä (kvadranssi), ja perinteinen kulman käsite korvataan kahden suoran välisellä avaumalla (engl. spread), jolla viitataan tietynlaiseen vektorien sisätuloon. Välttämällä neliöjuuria ja trigonometrisia funktioita, trigonometriasta tulee täysin algebrallista, ja monet perinteisesti trigonometristen funktioiden avulla esitetyt kaavat voidaan esittää polynomiyhtälöinä. Tämä mahdollistaa rationaalisen trigonometrian käytön myös abstraktimmille kunnille, joissa ei oleteta käytettävän reaalilukuja. Kirjan nimessä olevalla "universaalilla geometrialla" viitataan juuri tähän abstraktioon.

Näiden uusien määritelmien esittämisen jälkeen merkittävä osa Wildbergerin kirjasta keskittyy johtamaan uudelleen tärkeitä geometrian tuloksia. Trigonometriasta tutut kaavat kuten Pythagoraan lause, sinilause ja kosinilause korvataan niiden neliöanalogeilla. Rationaaliseen trigonometriaan otetaan mukaan myös kaksi uutta lausetta, joilla ei ole suoraa vastinetta klassisessa trigonometriassa.

Rationaalisen trigonometrian esitys Wildbergerin kirjassa perustuu pitkälti karteesiseen analyyttiseen geometriaan. Mielivaltainen tason piste määritellään järjestettynä parina (x,y), ja suora määritellään yhtälöllä

$Ax+By+C=0.\,$

Kvadranssi

Kvadranssi ja etäisyys (pituus) mittaavat pisteiden eriytymistä. Käy ilmi, että kvadranssi on etäisyyden neliö.(x, y)-tasossa kvadranssi Q(A₁, A₂) pisteille A₁ and A₂ määritellään (Pythagoraan lauseen mukaisesti) seuraavasti:

$Q(A_{1},A_{2})=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.\,$

Avauma

Olkoot ℓ ₁ ja ℓ ₂ suoria, jotka leikkaavat pisteessä A. Olkoon C piste, missä B:ltä ℓ ₂:lle piirretty korkeusjana kohtaa toisen suoran. Avauma on tällöin s = Q/R.

Kahden suoran välinen avauma voidaan mitata neljästä ekvivalentista kohdasta.

Avauma mittaa suorien eriytymistä. Se on dimensioton luku väliltä nollasta yhteen, missä '0' viittaa yhdensuuntaisiin suoriin ja '1' kohtisuoruuteen. Avauma korvaa trigonometriassa kulman, mutta eroaa kulman käsitteestä monilta osin ja sen voi tulkita monella tapaa:

• Trigonometria: suorakulmaisessa kolmiossa tuttu vastakkaisen sivun ja hypotenuusan (kvadranssien) suhde.

• Vektorit: relaatio suorien kulmakertoimien välillä.

• Karteesinen: koordinaattien rationaalifunktio, joilla suorien suuntavektorit määritellään.

Avauman laskeminen

• Trigonometria

Oletetaan, että kaksi suoraa, ℓ ₁ ja ℓ ₂, risteävät pisteessä A kuten oikealla nähdään. Valitaan piste B ≠ A suoralta ℓ ₁ ja annetaan C:n olla piste, missä B:ltä ℓ ₂:lle piirretty korkeusjana kohtaa toisen suoran. Tällöin suorien välinen avauma s

$s(\ell _{1},\ell _{2})={\frac {Q(B,C)}{Q(A,B)}}={\frac {Q}{R}}.$

• Vektori/kulmakerroin

Olkoon tason suorien yhtälöt muotoa: a₁x + b₁y = vakio, ja a₂x + b₂y = vakio. Suorien väliseksi avaumaksi voidaan johtaa ainoastaan yhtälön vakioista riippuva kaava

$s={\frac {(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}}{(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})}}.\,$

Avauman ja kulman vertailua

Avauma on rationaalisessa trigonometriassa kahden suoran rationaalifunktio. Kulma määritellään kahden samasta pisteestä lähtevän säteen tai janan relaationa. Kaksi risteävää suoraa muodostavat neljä kulmaa, mutta vain yhden avauman. Avauma on yhtäsuuri kulman sinin neliön kanssa.

Asteet	Radiaanit	Avauma
0	0	0
30	(1/6)π	1/4
45	(1/4)π	1/2
60	(1/3)π	3/4
90	(1/2)π	1
120	(2/3)π	3/4
135	(3/4)π	1/2
150	(5/6)π	1/4
180	π	0

Kvadraattisen määritelmän johdosta avauma ei ole lineaarinen suure, joten esimerkiksi 30 asteen muutos ei vastaa aina samaa avaumaa.

Trigonometriaa mielivaltaisilla kunnilla

Koska rationaalisessa trigonometriassa ei käytetä reaalilukuja vaativia trigonometrisia funktioita vaan ainoastaan polynomilaskuja, voidaan trigonometria laajentaa toimimaan mielivaltaisissa kunnissa (joiden karakteristika ei ole 2).

Kolmio pisteiden (2, 8), (9, 9) ja (10, 0) kautta kunnassa F₁₃ × F₁₃.

Lähteet

• Wildbergering sivusto rationaaliselle trigonometrialle
• Klassisen ja rationaalisen trigonometrian vertailua
• Alexander Bogomolny: A brief introduction to Rational Trigonometry Cut-the-knot.
• N J Wildberger: Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry. Wild Egg, 2005.

Aiheesta muualla

• N. J. Wildberger's homepage
• Print a protractor to measure spread
• N. J. Wildberger's YouTube channel—lectures on rational trigonometry
• James Franklin reviews "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry"
• The ancient Greeks present: Rational Trigonometry
• One dimensional metrical geometry
• Euler Math Toolbox implementation of Rational Trigonometry