Reynoldsov broj

Rejnoldsov broj je bezdimenziona veličina i ključni parametar strujanja viskoznog fluida. Tim brojem se definiše granica između laminarnog i turbulentnog strujanja. Ima fizičko značenje odnosa sila inercije i viskoznosti. Na njegovu brojnu vrednost utiče više parametara strujanja fluida. Koristi se za dovođenje karakteristika strujanja na uporedive uslove.^[1]

Označava se s R_e, po engleskom fizičaru Ozbornu Renojldsu, autoru više radova iz oblasti hidrodinamike. Jedan od najznačajnijih mu je od naučnih doprinosa, vezan za uvođenje R_e, sa eksperimentalnim i teoretskim dokazom razgraničenja laminarnog i turbulentnog strujanja fluida.

Korišćene fizičke veličine

Osnovne
- $\ l$ je dužina [m]
- $\ m$ je masa [kg]
- $\ t$ je vreme [s]
Izvedene
- ${\mathbf {\mathrm {v} } }$ je brzina [m/s]
- $\ A$ je površina [m²]
- $\ F$ je sila [kgm/s²]
- ${\ \rho }$ je gustina [kg/m³]
- $\ \mu$ je viskoznost[kg/ms]
- $\ \nu$ je kinematska viskoznost ( $\ \nu ={\mu }/{\rho }$ ) [m²/s]
- $\ p$ je pritisak [kg/ms²]

Istorijat

Uočavanje fenomena

Pri ispitivanju modela u obliku kugle, mereno u odvojenim aerotunelima, dobijeni su različiti rezultati. U Ajfelovom aerotunelu u Parizu 1911. godine je dobijena vrednost koeficijenta otpora C_x = 0,176, a u Prantlovom (Prantl) u nem. Gottingenu 1912. godine je izmereno C_x = 0,44.^[2]

Ovaj fenomen je postao predmet višegodišnjih istraživanja mnogih naučnika, u oblasti mehanike fluida. U odvojenim aerotunelima je meren otpor i drugih aerotela, a i kod njih je uočen isti fenomen.

Sila otpora (Rx ), u principu, predstavlja paraboličnu funkciju drugog reda u zavisnosti od brzine strujanja vazduha oko aerotela. Kod određene vrednosti brzine je primećen diskonuitet te funkcije. Pri određenoj brzini, sila otpora se naglo smanji i pređe na drugu paraboličnu zavisnost, pomerenu u desno na jednu od parabola iz familije mogućih (prikazano na slici).

Prantl je teoretski i eksperimentalno razjasnio osnove fizikalnosti dotičnog fenomena. On je proučavajući strujno polje oko kugle, još 1914. godine zaključio da je ta promena otpora posledica promene strujnog polja oko kugle.

Pri manjim brzinama nastaje ranije odvajanje strujnica vazduha i formira se vihorno polje na većem delu kugle, s početkom na preseku pod uglom od oko 80⁰. Sa porastom brzine se vihorno polje smanjuje. Odvajanje strujnica vazduha se odlaže na presek kugle, pod uglom između 110⁰ i 140⁰ (slika desno ).^[1]^[3]

Ranije odvajanje vazdušne struje prouzrokuje veću razliku pritiska, ispred i iza aerotela, što znači i veći otpor. Taj priraštaj otpora se u aerodinamici identifikuje kao otpor oblika aerotela, usled uticaja viskoznosti fluida.

Pri laminarnom strujanju dolazi do ranijeg otcepljenja strujnica, u odnosu na turbulentno, pri kome usled dodatne energije rotacije, vazdušne čestice duže prate konturu aerotela. Pri malim brzinama je laminarno strujanje fluida, a na određenoj, povećanoj brzini isto prelazi u turbulentno.^[4]

Rejnoldsov ogled

Ozborn Renojlds je svojim ogledom strujanja vode kroz cev dao poseban doprinos istraživanju fenomena nagle promene otpora aerotela na određenoj brzini strujanja. Ogled je realizovao s posudom, napunjenom vodom, koja ističe kroz horizontalnu, providnu cev konstantnog prečnika D. Brzina isticanja vode se reguliše slavinom. U funkciji vizuelizacije strujanja vode, u tok se iz posebnog suda upušta obojeni rastvor.^[5]

Pri malim brzinama isticanja vode, obojene čestice prave paralelan trag s osom cevi i zadržavaju svoje individualne osobine. S povećanjem brzine dostiže se trenutak kada čestice obojenog rastvora, na određenoj udaljenosti od početka cevi, počinju da se mešaju s vodom u cevi, rasipajući se po čitavoj njenoj širini. Udaljenost početka gubitka individualnosti čestica rastvora je veća ukoliko je protok kroz cev manji. Ta brzina preobražaja iz laminarnog u turbulentno strujanje po Rejnoldsu se zove kritična, V_k. Ovim ogledom je, u prvom delu, dokazana pojava laminarnog, a u drugom delu turbulentnog režima strujanja.

Varirajući prečnik cevi D, Rejnolds je otkrio da je pri konstantnoj temperaturi vode uvek isti proizvod prečnika cevi i kritične brzine, DV_k=const. Znači, da se s porastom prečnika cevi D ranije dešava preobražaj laminarnog u turbulentno strujanje i obrnuto. Pri promeni temperature vode, istoj se menja vrednost viskoziteta $\ \nu$ i preobražaj oblika strujanja se karakteriše s odnosom njegovih parametara: ${\frac {{\ \mathbf {\mathrm {v} } }D}{\nu }}=const$ . Taj odnos je nazvan kritični Rejnoldsov broj R_ek. Prvim merenjima u ovim opitima Rejnolds je dobio R_ek=2.200. Kasnije, izmenom oblika ulaznog dela cevi (kolektora), dobio je R_ek=22.800.^[6]

Upoređujući režime opstrujavanja oko aerotela i proticanja vode kroz cev Rejnoldsovog ogleda, naučnici su uočili potpunu analogiju.

Prvi zaključuje engl. Rayleigh (1913. g. ) da su vrednosti aerodinamičkih koeficijenata otpora C_x za kuglu približno jednaki za iste proizvode DV. To je bila prva, približna, primena Rejnoldsovog broja.^[7]

Definicija

Pokazatelj uticaja Rejnoldsovog broja se dobija kroz proces bezdimenzijske analize.

Prema teoriji sličnosti fizičkih procesa postoji nekoliko metoda za izvođenje i dokaz:

Razvojem uspostavljene funkcije u red.
Frakcionom analizom, posredstvom odnosa sila i odnosa delova jednačine energije.
Bezdimenzijonim oblikom diferencijalnih jednačina.
Transformacijom jednačine Navje-Stoksa.^[8]

Metod bezdimenzijske analize s razvojem funkcije u red

Za primer u aerodinamici, s pretpostavkom da koeficijenat aerodinamičke sile zavisi od oblika aerotela, njegovog položaja u odnosu na strujanje i od viskoznosti fluida μ, u opštoj funkciji je:^[9]

C_{F}=f\left(\rho ,\mathbf {\mathrm {v} } ,l,\mu ,\kappa ,\alpha ,\beta \right)

Gde su: κ oblik aerotela, α napadni ugao i β bočni ugao.

Prethodna funkcija se može razviti u red:

C_{F}=\sum A\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}\mu ^{p}\kappa ^{q}\alpha ^{r}\beta ^{s}

Primenom bezdimenzijske analize, mora se postići indentičnost dimenzija leve i desne strane jednačine:

Dim\left[C_{F}\right]\equiv Dim\left[\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}\mu ^{p}\right]

Koeficijent aerodinamičke sile C_F nema dimenziju, te i i odnos veličina na desnoj strani jednačine mora biti bez dimenzije. Znači, obe strane jednačine su bez dimenzije:

Dim\left[C_{F}\right]=1\quad \Rightarrow \quad Dim\left[\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}\mu ^{p}\right]=1

Iz ovoga uslova se određuju eksponenti uticajnih fizičkih veličina, u pretpostavljenoj funkciji.

Dim\left[C_{F}\right]=1\Rightarrow l^{0}m^{0}t^{0}\equiv \left(l^{-3}m\right)^{x}\left(l\,t^{-1}\right)^{y}l^{z}\left(l^{-1}m\,t^{-1}\right)^{p}\Rightarrow l^{0}m^{0}t^{0}\equiv l^{-3x+y-p}m^{x+p}t^{-y-p}\quad \Rightarrow

0=-3x+y-p;\quad 0=x+p;\quad 0=y+p

Zamenom rešenja ovog sistema jednačina se dobija:

\,x=\,-p;\quad \,y=\,-p;\quad \,z=\,-p\quad \Rightarrow \quad C_{F}=\sum A\left({\frac {\mathbf {\mathrm {v} } l}{\nu }}\right)^{p}\kappa ^{q}\alpha ^{r}\beta ^{s}

Pošto su A, p, q, r i s potpuno proizvoljne vrednosti, proizilazi da je:

C_{F}=f\left({\frac {\mathbf {\mathrm {v} } l}{\nu }},\kappa ,\alpha ,\beta \right)

Gde je kinematska viskoznost: $\ \nu ={\mu }/{\rho }$ .

Na ovaj način je dobijena funkcija koeficijenata aerodinamičkih veličina, u zavisnosti od oblika i položaja aerotela u struji fluida i od odnosa ${\frac {\mathbf {\mathrm {v} } l}{\nu }}$ . Ovaj bezdimenzioni odnos karakteriše režim i oblik strujanja fluida oko aerotela. Taj odnos je nazvan Rejnoldsov broj, u znak priznanja fizičaru Renojldsu, za doprinos u razjašnjenju fenomena uticaja izmene karaktera opstrujavanja tela fluidom na vrednosti karakteristika strujanja. Obeležava se sa:

\,R_{e}={\frac {\mathbf {\mathrm {v} } l}{\nu }}

Gde je $\mathbf {\mathrm {v} }$ brzina strujanja fluida, $\,\nu$ kinematska viskoznost fluida i $\,l$ karakteristična dužina (kod kugle, cevi i projektila prečnik, a kod aeroprofila, krila i aviona tetiva itd.).^[9]

Metod bezdimenzijske analize pomoću jednačina Navje-Stoksa

Efikasnost simulacije dvodimenzionalnog strujanja oko cilindričnog tela, s upotrebom jednačina Navje-Stoksa, demonstriran je u NASA, na računaru Grej C-90 (engl. Graj C-90). Slika grafičkih rezultata je data desno. Matematički dokaz, da su sva strujanja međusobno uporediva, ako se odvijaju s istim Rejnoldsovim brojem, je moguć i primenom principa Navje-Stoksa (Navie-Stoks) na jednačinu količine kretanja.^[10]

\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {v}}+\mathbf {f}

Gde su operatori:

\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}};\quad \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}

Delovi jednačine imaju fizičko značenje:

\overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{C}}\\\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}} _{\begin{smallmatrix}{\text{D}}\\\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{B}}=\overbrace {\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{E}}\\\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}{\vec {v}}} _{\text{G}}} ^{\text{H}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{I}}\\\end{smallmatrix}}

B - Specifična sila inercije, po jedinici zapremine (količina kretanja)
C - Ubrzanje
D - Prirast ubrzanja
E - Gradijent pritiska
G - Viskoznost
H - Prirast napona
I - Ostale inercijalne sile

Pošto svaki sabirak u jednačini, ponaosob, ima dimenziju količine kretanja kg/m³ m/s² = kg/m²s² neophodno je, za bezdimenzijonisanje, celu jednačinu pomnožiti s odnosom fizičkih veličina koji ima reciprotitet tih dimenzija.

To je odnos veličina: ${\frac {l}{\rho \mathbf {v} ^{2}}}\,\left[{\frac {m^{2}s^{2}}{kg}}\right]$

Na osnovu prethodnog može se napisati Navje-Stoksova jednačina u bezdimenzijskom obliku:

{\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho l\mathbf {v} }}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'}

Gde je: $\mathbf {v'} ={\frac {\vec {v}}{\mathbf {v} }}\left[1\right];\,p'=p{\frac {1}{\rho \mathbf {v^{2}} }}\,\left[1\right];\,\mathbf {f'} =\mathbf {f} {\frac {l}{\rho \mathbf {v^{2}} }}\,\left[1\right];{\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {l}{\mathbf {v} }}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[1\right];\,\ \nabla '=l\,\nabla \,\left[1\right]$

Zamenom odnosa: ${\frac {\mu }{\rho l\mathbf {v} }}={\frac {1}{R_{e}}}$

$\quad \Rightarrow \,\quad {\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {1}{R_{e}}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {f'}$

Konačno, jednačina Navje-Stoksa za količinu kretanja, napisana bez bezdimenzijskog naglašavanja, radi lakšeg čitanja, ima izgled:

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-\nabla p+{\frac {1}{R_{e}}}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f}$

Ova jednačina matematički dokazuje da su strujanja fluida međusobno uporediva, samo kada su pri istom Rejnoldsovom broju.

Fizički smisao Rejnoldsovog broja

Fizički smisao Rejnoldsovog broja se može definisati njegovom matematičkom transformacijom:

{\mathit {Re}}={\frac {\mathbf {\mathrm {v} } l}{\nu }}\,{\frac {\rho {\mathbf {\mathrm {v/l} } }}{\rho {\mathbf {\mathrm {v/l} } }}}={\frac {\rho \,\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }{\mu \,\mathbf {\mathrm {v/l} } }}

Brojilac gornje jednačine se može vezati za dinamički pritisak: $\quad \Rightarrow \,\quad q={\frac {\rho \mathbf {v} ^{2}}{2}}$

Imenilac je povezan sa tangecionim naponom: $\quad \Rightarrow \,\quad \mu {\frac {\mathbf {v} }{l}}=\mu {\frac {\partial {U}}{\partial {y}}}$

Proizilazi da je na neki način Rejnoldsov broj odnos pritiska i tangencijalnog napona.

Rejnoldsov broj se može definisati i u drugom obliku:

{\mathit {Re}}={\frac {\rho \,\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }{\mu \,\mathbf {\mathrm {v/l} } }}\quad \Rightarrow \,\quad {\mathit {Re}}={\frac {F_{in}}{F_{visk}}}

Gde su:

$\,F_{in}=\rho \,\mathbf {\mathrm {v^{2}} }$ , inercijalne sile
$F_{visk}=\mu \,\mathbf {\mathrm {v/l} }$ , viskozne sile

Fizički smisao Rejnoldsovog broja je odnos inercijalnih i viskoznih sila fluida.

Upotreba

Rejnoldsov broj se koristi kao kriterijum za određivanje uslova prelaska s laminarnog na turbulentno strujanje i obratno.

Aerodinamičke karakteristike se prikazuju preko svojih bezdimenzionih koeficijenata, radi eliminisanja uticaja, na njihovu vrednost, dinamičkog pritiska strujanja i veličine aerotela. Na taj način se želelo postići, da na koeficijente utiču samo oblik aerotela i njegov položaj, u odnosu na pravac strujnica vazduha (fluida). Odnosno, da koeficijenti aerotela istog oblika i položaja u odnosu na strujanje, budu međusobno uporedivi bez obzira na međusobnu razliku veličine aerotela i dinamičkog pritiska. Kroz iskustvo, teoretska i eksperimentalna istraživanja, u uslovima različitih oblika strujanja, je dokazano da to nije dovoljno za potpunu uporedivost aerodinamičkih koeficijenata. Dokazano je, da je potpuna uporedivost koeficijenata jedino moguća pri istim Rejnoldsovim brojevima, a u oblasti kompresibiliteta, i pri istim Mahovim brojevima.

Uticaj viskoznosti, odnosno Rejnoldsovog broja se manifestuje na aerodinamičke karakteristike, što je veoma važno za krila i aeroprofile letelica. Simulirati potrebnu sličnost u aerotunelima je veoma delikatno, prilikom ispitivanja sa smanjenim dimenzijama i brzinama modela. Rejnoldsov broj utiče, preko doprinosa oblika aerotela, na njegov ukupan otpor (kako je prethodno utvrđeno). Pošto je od uticaja na trenutak otcepljenja vazdušne struje, on utiče i na maksimalni uzgon aerotela. Na slikama desno je data ilustracija toga uticaja na aeroprofile i prikazane letne karakteristike insekata.^[11]

Idealno bi bilo, kada bi se upoređujući koeficijenti uvek odnosili za iste Rejnoldsove brojeve, ali to najčešće nije moguće postići. Za slučajeve, kada se razlikuju, prave se korekcije podataka svodeći ih na uslove istih Rejnoldsovih brojeva, kako je definisano u aerodinamici i u tehnologijama aerotunela. Iz tih razloga, se uz aerodinamičke koeficijente uvek navode podaci, za koji Rejnoldsov broj se odnose.

Tipične vrednosti Rejnoldsovog broja

Primeri iz čovekovog okruženja

Veliki brod (Kraljica Elizabeta 2), kada plovi ~ 5×10⁹
Plavi kit, pri plivanju ~ 3×10⁸
Čovek pri plivanju ~ 4×10⁶
Krvotok u mozgu ~ 1×10²
Krvotok u aorti ~ 1×10³
Spermatozoid ~ 1×10⁻⁴^[12]

Letelice, ptice i insekti

Na slici su ilustrovane oblasti vrednosti Rejnoldsovih brojeva za insekte, ptice i pojedine grupacije letelica. Okvirne vrednosti su date za uslove standard atmosfere, na nivou mora (H=0m ), za kinematsku viskoznost $10^{5}\,\nu =1,32\,{\frac {m^{2}}{sec}}$ . U datim primerima su različite veličine tela, koja se kreću kroz vazduh različitim brzinama. Veličine tela su definisane s karakterističnim dužinama l. Za konstantne vrednosti karakterističnih dužina l se Rejdnolsov broj menja linerno, po pravoj liniji (prikazano na slici ).^[11]

Povezano

Reference

↑ ^1,0 ^1,1 „Reynolds number” ((en)). grc.nasa.. Pristupljeno 4. 2. 2014. »Reynolds number«
↑ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
↑ „BOUNDARY LAYERS” ((fr)). uh.edu/engines. Pristupljeno 4. 2. 2014. »BOUNDARY LAYERS«
↑ Preobražaj laminarnog u turbulentno strujanje, Pristupljeno 24. 4. 2013.
↑ Rejnoldsov ogled Arhivirano 2012-03-25 na Wayback Machine-u, Pristupljeno 24. 4. 2013.
↑ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 81, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
↑ Istorijat Rejnoldsovog broja, Pristupljeno 24. 4. 2013.
↑ Hidrodinamika, IV izdanje, pp. 1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
↑ ^9,0 ^9,1 Ing Zlatko Rendulić (1960.). „Aerodinamika” ((sh)). Beograd: Komanda RV i PVO. str. 71-101. »Aerodinamička sila i moment«
↑ Hidrodinamika, IV izdanje,str.74, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
↑ ^11,0 ^11,1 Izvor, Pristupljeno 24. 4. 2013.
↑ podaci

Literatura

Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
Hidrodinamika, IV izdanje, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

Vanjske veze

Rejnoldsov broj na sajtu The Engneering Tolbox
Gas Dynamics Toolbox Calculate Reynolds number for mixtures of gases using VHS model
Browser-based Reynolds number calculator.

[Reynolds_number-1] 1,0 ^1,1 „Reynolds number” ((en)). grc.nasa.. Pristupljeno 4. 2. 2014. »Reynolds number«

[2] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[BOUNDARY_LAYERS-3] „BOUNDARY LAYERS” ((fr)). uh.edu/engines. Pristupljeno 4. 2. 2014. »BOUNDARY LAYERS«

[4] Preobražaj laminarnog u turbulentno strujanje, Pristupljeno 24. 4. 2013.

[5] Rejnoldsov ogled Arhivirano 2012-03-25 na Wayback Machine-u, Pristupljeno 24. 4. 2013.

[6] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 81, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[7] Istorijat Rejnoldsovog broja, Pristupljeno 24. 4. 2013.

[8] Hidrodinamika, IV izdanje, pp. 1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[Аеродинамичка_сила_и_момент-9] 9,0 ^9,1 Ing Zlatko Rendulić (1960.). „Aerodinamika” ((sh)). Beograd: Komanda RV i PVO. str. 71-101. »Aerodinamička sila i moment«

[10] Hidrodinamika, IV izdanje,str.74, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[Извор-11] 11,0 ^11,1 Izvor, Pristupljeno 24. 4. 2013.

[12] ↑ podaci

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]