Relacja odwrotna

Pojęcia męża i żony to w niektórych krajach relacje odwrotne – można być mężem tylko dla żony i odwrotnie.

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej oraz funkcja kwadratu z taką samą dziedziną to relacje odwrotne.

Relacja odwrotna, konwers relacji – przekształcenie relacji, zwłaszcza dwuargumentowej (binarnej), polegające na zamianie kolejności jej argumentów. Symbolicznie: niech $R\subset X\times Y.$ Wtedy relacją odwrotną do $R$ nazywa się:

$R^{-1}:=\left\{(y,x)\in Y\times X:\,(x,y)\,\in \,R\right\}.$

Innymi słowy między dwoma elementami zachodzi relacja odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy relacja wyjściowa zachodzi dla nich w odwrotnej kolejności: $yR^{-1}x\Leftrightarrow xRy.$ Inne oznaczenie to ${\breve {R}}$.

Odwracanie relacji jest inwolucją: $(R^{-1})^{-1}=R.$ Przykłady relacji wzajemnie odwrotnych to przed i po, nad i pod, przodek i potomek, rodzic i dziecko, przełożony i podwładny, następca i poprzednik, język ojczysty i native speaker, a w matematyce – podzbiór i nadzbiór oraz dzielnik i wielokrotność. Relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności.

Szczególnym przypadkiem odwracania relacji jest odwracanie funkcji.

Własności algebraiczne

Dla zbioru relacji dwuargumentowych z działaniem sumy zbiorów $({\mathcal {B}}(X),\cup )$ odwracanie jest endomorfizmem:

$(R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}.$

Podobne własności zachodzą dla przekroju i różnicy zbiorów:

$(R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1},$

$(R\setminus S)^{-1}=R^{-1}\setminus S^{-1}.$

Konwers dopełnienia relacji jest dopełnieniem jej konwersu:

$(R')^{-1}=(R^{-1})'.$

Dla złożenia relacji odwracanie jest już antyhomomorfizmem:

$(S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}.$

Relacja odwrotna nie jest jednak elementem odwrotnym w półgrupie relacji binarnych; w ogólności $R^{-1}\circ R\neq {\text{id}}.$ Inkluzja zachodzi tylko dla funkcji częściowych (relacji funkcyjnych), a równość – dla bijekcji.

Bibliografia

• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.
• Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.