Vés al contingut

Rosa (matemàtiques)

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Rosa de k = 7 pètals.
Rosa de 8 pètals (k=4).
Roses definides per , per a diversos valors de k=n/d.

En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma

Si k és un enter, la corba serà una rosa de

  • 2k pètals si k és parell, i
  • k pètals si k és senar.

Quan k és parell, la gràfica completa de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar.)

Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament a prop de qualsevol punt del disc de radi unitat).

Donat que

Per a to , les curves donades per les equacions polars

i

són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians.

El nom de les roses els el va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.[1]

Àrea

[modifica]

Una rosa que té equació polar de la forma

on k és un enter positiu, té una àrea de

si k és parell, i

si k és senar.

El mateix s'aplica a les roses amb equacions polars de la forma

Donat que la seva gràfica no és res més que una rotació de les roses definides fent servir el cosinus.

Vegeu també

[modifica]

Referències

[modifica]
  1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Rhodonea» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.

Enllaços externs

[modifica]