Sabit bir eksen etrafında dönme

Sabit bir eksen etrafında dönme dönme hareketinin özel bir durumudur. Sabit eksen hipotez yönünü değiştirerek bir eksen olasılığını dışlar ve salınım devinim gibi olguları tarif edemez. Euler’in dönme teoremine göre, Aynı zamanda, sabit eksenler boyunca eş zamanlı rotasyon imkânsızdır. Eğer iki rotasyona aynı anda kuvvet uygulanırsa, rotasyonun yeni ekseni oluşur.

Bu bölümde, önce sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cismin açısal yer değiştirme, açısal hız ve açısal ivme nicelikleri türetilecek ve dönme hareketi ile açısal hareket arasındaki ilişki ve benzerlikler elde edilecektir. Daha sonra dönme hareketi yapan katı bir cismin dönme kinetik enerji ifadesi türetilecektir. Bir kuvvetin bir cismi bir nokta etrafında döndürme etkisinin ifadesi olan tork kavramı tanımlanacaktır. İki vektörün vektörel çarpımı tanımlanarak tork kavramı kuvvet ve uzunluk vektörleri ile vektörel çarpım olarak ifade edilecektir. Son olarak da bir kuvvetin döndürme etkisi ile açısal ivme arasında nasıl bir ilişki olduğu incelenerek Newton’un 2. yasasının dönüş hareketi için ifadesi elde edilecektir.

Bu makale dönmenin sabit olduğunu varsayar; yani cismi tutmak için hiçbir tork gerekli değildir. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmenin kinematiği ve dinamiği matematiksel olarak ifade edilişi katı cismin serbest bir şekilde dönmesinden daha basittir; bir tek sabit yön boyunca doğrusal harekete bütünüyle benzer, ama serbest dönme yapan katı cisimler için bu durum geçerli değildir. Bu açıklama ayrıca nesnenin kinetik enerjisi için, nesnenin parçaları üzerinde oluşan kuvvetler için sabit bir eksen etrafında dönmesi genel dönme hareketine bakılarak daha basittir. Bu nedenle, öğrenciler doğrusal harekete hakim olduktan sonra sabit bir eksende dönme hareketi genellikle fizik derslerine giriş olarak düşünülür; ancak daha genel olan dönme hareketi fizik derslerine giriş olarak sayılacak kadar basit değildir.

Öteleme ve dönme

Doğrusal öteleme

Bu harekette katı cisim icerisindeki her nokta birbirine paralel doğrular çizer. Katı cismin tanımı gereği tüm parçacıkların hızları ve ivmeleri her an birbirine eşittir.

Eğrisel Ötelenme

Katı cisim içerisindeki her nokta hareket boyunca birbirine paralel eğriler cizer. Bu hareket düzlemde sabit bir nokta (veya bu sabit noktadan geçen ve hareket düzlemine dik olan sabit bir eksen) etrafındaki dönme hareketiyle karıştırılmamalıdır. Çünkü dönme hareketinde katı cismin üstündeki her nokta eş merkezli çemberler çizer. Eğrisel ötelemede ise her nokta ayrı bir eğri çizer ve bu eğriler birbirine paraleldir.

Öteleme ve dönme

Katı cisim sonlu ölçüde bileşen taneciklerinin arasındaki mesafelerin sabit olduğu bir cisimdir. Katı cisimin varlığı tamamen doğru değildir; dış kuvvetler herhangi bir katı cismi rahatlıkla bozabilir. Ama burada bizim anlatmak istediğimize göre, katı cisimleri deforme etmek için kayda değer büyük kuvvetlerin uygulanması gerektiği yönündedir.

Üç boyutlu uzayda bir noktanın konum değişikliği için tamamen üç koordinatlı bir sistem ile belirlenebilir. Katı cismin konumundaki değişim anlatılandan her zaman daha karmaşıktır. Bu hareket iki farklı tip hareketin kombinasyonu olarak kabul edilir: öteleme hareketi ve dönme hareketi.

Cismin her parçacığı diğer parçacıklarıyla aynı anlık hıza sahip olduğunda, öteleme hareketi meydana gelir; daha sonra cisimdeki herhangi bir parçacık tarafından takip edilen yol diğer parçacıklar tarafından takip edilen yola tamamıyle paraleldir. Öteleme hareketinin altında, katı cismin konumundaki değişiklik tamamen bu üç koordinatla; x, y ve z belirlenir. Örneğin, katı cisimde sabit kütle merkezi gibi, bu koordinat sistemi herhangi bir noktanın yerdeğiştirme vektörünü verir.

Eğer cisimdeki her parçacık tek bir düzlemde dairesel şekilde hareket ederse, dönme hareketi meydana gelir. Bu düzlem de dönme ekseni olarak adlandırılır. Ve bütün parçacıkların ekseninde yarıçap vektörü aynı zamanda aynı açısal yerdeğiştirmeye sahiptir. Dönme ekseninin cisme doğru olması gerekmez. Genelde, x, y ve z koordinatlarına bağlı olarak herhangi bir rotasyon üç tane açısal yerdeğiştirmeyle belirlenebilir. Katı cismin konumundaki herhangi bir değişim üç öteleme ve üç dönme koordinatıyla tanımlanabilir.

Katı cismin herhangi bir yerdeğiştirmesi nesnenin bu duruma (bir dönme hareketiyle takip edilen yerdeğiştirmesine ya da tersine, bir yerdeğiştirmeyle takip edilen bir dönme hareketine) ilk kez maruz bırakılmasıyla elde edilebilir. Biz biliyoruz ki parçacıkların toplanması için birbirlerine göre katı bir cisimmiş gibi hareket etsinler veya birbirlerine göre göreli hareket içindeolsunlar veya olmasınlar bombanın patlayan parçacıklarında olduğu gibi, kütle merkezinin ivmesi elde edilir;

F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }\;\!

M sistemin toplam kütlesi ve a_cm kütle merkezinin ivmesi. Kütle merkezi etrafında nesnenin dönmesini açıklayan ve nesne üzerinde hareket eden dış güçlerin bunu ilişkilendirme olayı vardır. Bir tek eksen üzerinde dönme hareketinin kinematik ve dinamikleri öteleme hareketinin kinematik ve dinamiklerine benzer; bir tek eksen üzerindeki dönme hareketi parçacık dinamiğindeki iş enerji teoremine bile sahiptir.

Kinematik

Açısal Yer Değiştirme, Hız ve İvme; Dönme olayını inceleyebilmek için öncelikle dönme hareketini en iyi tanımlayacak yerdeğiştirme niceliğini tanımlamamız gerekecektir. Bu yer değiştirmeyi tanımladıktan sonra doğrusal harekette tanımladığımız gibi yer değiştirmenin zamana göre değişimine bakarak dönen cismin hızını (açısal hız), dönüş hızının birim zamandaki değişiminden de dönüş hızındaki değişmeleri gösteren dönüş ivmesi (açısal ivme) kavramlarını türetebiliriz.

Açısal yerdeğiştirme

Bir parçacık dairenin yarıçapında hareket eder $r$ . Bir yay uzunluğu kadar hareket eder $s$ , açısal konumu $\theta$ orijinal konumuna bağlı olarak, $\theta ={\frac {s}{r}}$ .

Matematik ve fizikte genellikle birimi derece ve devinimlerdense radyan olarak kullanılır. Birimler aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

1\mathrm {\ rev} =360^{\circ }=2\pi \mathrm {\ rad} \mathrm {,and}

1\mathrm {\ rad} =180^{\circ }/{\pi }\approx 57.3^{\circ }.

^[1]

Açısal bir yer değiştirme açısal konumun değişimidir:

\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},\!

$\Delta \theta$ açısal yerdeğiştirme, $\theta _{1}$ açısal ilk konumu ve $\theta _{2}$ açısal son konumudur.^[1]

Açısal sürat ve açısal hız

Açısal hız birim zamandaki açısal yerdeğiştirmedeki değişimdir. Açısal hızın sembolü; $\omega$ ve birimi tipik olarak rad s⁻¹ şeklinde ifade edilir. Açısal sürat açısal hızın büyüklüğüdür.

{\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.

Anlık açısal hız;

\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.

Bu formülü açısal konum için kullanırsak;

 $v={\frac {ds}{dt}}$ ,

ve aynı zamanda bu formülü elde ederiz;

\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},

$v$ parçacığın ötelenme hızı.

Açısal hız ve açısal frekans şunlarla alakalıdır;

\omega ={2\pi f}\!

.

Açısal ivme

Açısal hızdaki değişim bize katı cisimde açısal ivmenin varlığını gösterir. Genellikle rad s⁻² şeklinde ölçülür. Ortalama açısal ivme;

 ${\overline {\alpha }}$  bir zaman aralığına bölündüğünde Δt ;

{\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.

Anlık açısal ivme α(t);

\alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.

Açısal ivme açısal hızın değişim oranı ve ivme de hızın değişimindeki orandır.

Bir nesne üzerindeki bir noktanın öteleme ivmesi;

a=r\alpha ,\!

r yarıçap ya da dönme eksenine olan uzaklığıdır. Bu aynı zamanda ivmenin teğetsel bileşeni olarak da adlandırılır: noktanın hareket yönüne teğettir. Eğer bu bileşen 0 olursa, hareket türü düzgün dairesel hareket olur ve hız sadece yön bakımından değişir.

Radyal ivme (hareket yönüne diktir);

a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!

.

Dairesel hareketin merkezine doğrudur ve sıklıkla merkezcil ivme olarak adlandırılır.

Açısal ivme positif ya da negative değere sahip olabilen torktan dolayı kaynaklanır. Bu tork da positif ve negative açısal frekans ile uyum içerisindedir. Tork ve açısal ivmenin oranları bize eylemsizlik momentini verir; yani dönmenin nasıl başladığı durduğu ya da değiştiği hakkında bilgi verir.

T=I\alpha

.

Açısal ve Doğrusal Nicelikler

Dönen bir cismin açısal hız ve ivmesi ile cismin üzerindeki bir noktanın çizgisel hız ve ivmesi arasında bir bağlantı vardır. Daha önce dairesel yörüngede dönen bir noktanın merkeze yönelik v2/r büyüklüğünde a merkezcil ivme ile hareket ettiğini görmüştük. a ivmesinin büyüklüğünü ω açısal hız cinsinden yazarsak: a = (V^2)/r = ((rω)^2)/r = r(ω^2)

Bağıl Hareket Analizi

Parçacığın kinematiğinde bağıl hız bağıntısını çıkarırken A ve B gibi birbirinden bağımsız hareket eden iki parçacık incelenirse eğer, bu parçacıklar arasındaki bağıl hız bağıntısı bulunabilir. A ve B aynı katı cisim üzerindeki iki nokta ise aralarındaki mesafe sabit olursa ve bu noktalardan biri üzerinde duran bir gözlemci diğer noktanın dairesel hareket yaptığını görebilir. Aynı katı cisim üzerindeki A ve B noktalarını göz önüne alırsak eğer, hareketli koordinat sisteminin orijini B noktasında olsun, bu durumda A’ nın hareketi iki şekilde oluşuyormuş gibi düşünülebilir. Cisim önce AB doğrusuna paralel olarak A′’B′ konumuna ötelenir.

Bağıl ivme

Katı cisim ω acısal hızı ve α acısal ivmesi ile donuyor olsun. Bağıl hız teriminden farklı olarak burada bağıl ivme teriminin biri teğetsel diğeri normal olmak üzere iki bileşeni vardır. B’ ye yerleşik gözlemci yine A noktasını, B merkezli ve BA=r yarıcaplı bir dairesel hareket yapıyor gibi görür. Bir mekanizmada hız ve ivme analizleri yapılırken önce daima hız analizi yapılır. Sonra ivme analizine geçilir. Çünkü hız analizinden elde edilecek olan açısal hız veya hızlar mutlaka ivme analizinde kullanılacaktır. Bazen bir mekanizmada bir noktanın hızını veya ivmesini bulmak için bu noktaya iki ayrı yönden yaklaşılır. Bu şekilde bu noktanın hız ve ivmesi iki kez yazılıp bunlar eşitlenerek arananlar bulunur.

Kinematik eşitlikleri

Daha önce doğrusal hareket için türettiğimiz kinematik eşitlikleri dönme hareketine uyarlayabiliriz. Doğrusal harekette türettiğimiz formüllere dönü hareketini tanımlayan x, v ve a yerine açısal yerdeğiştirme(Δθ), açısal hız(ω) ve açısal ivme(α) niceliklerini yazarsak: Açısal ivme sabit olduğu zaman, beş büyüklük; açısal yerdeğiştirme, $\theta$ , açısal ilk hız, $\omega _{i}$ , açısal son hız, $\omega _{f}$ , açısal ivme, $\alpha$ ve zaman $t$ dört kinematik eşitliğinde rol oynar:

\omega _{f}=\omega _{i}+\alpha t\;\!

\theta =\omega _{i}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\alpha t^{2}

\omega _{f}^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha \theta

\theta ={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{f}+\omega _{i}\right)t

Dinamik

Eylemsizlik momenti

Bir nesnenin eylemsizlik momentinin sembolü I harfidir ve nesnenin dönmeye karşı oluşturduğu dirençtir. Eylemsizlik momentinin birimi kilogram metre² (kg m²) ‘dir. Nesnenin kütlesine bağlı olarak oluşur: kütleyi arttırdığımızda eylemsizlik momenti artar ve kütleyi azalttığımızda da eylemsizlik moment azalır. Ve aynı zamanda kütle dağılımına parallel bir şekilde de eylemsizlik momenti oluşur: eğer kütlenin dağılımı dönme merkezinden çok uzaktaysa daha büyük bir oranla eylemsizlik momenti artar ama eğer kütlenin dağılımı dönme merkezine daha yakınsa eylemsizlik momenti daha küçük bir değere sahip olur. Kütlenin tek bir parçacığı için $m$ uzaklık $r$ dönme ekseninden, şu eylemsizlik momentini elde ederiz;

I=mr^{2}.

Tork

Tork ${\boldsymbol {\tau }}$ kuvvetin F dönme ekseninden r kadar uzaklıkta bulunan dönen bir nesneye uyguladığı büküm etkisidir. Matematiksel olarak;

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,

× çapraz çarpımı belirtir. Nesne üzerindeki net tork nesnenin açısal ivmesini meydana getirir;

{\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},

F = ma doğrusal dinamikteki formüldür.

Nesne üzerindeki tork tarafından yapılan iş tork ile tork tarafından yapılan açının çarpımına eşittir;

W=\tau \theta .\!

Tork’un gücü birim zamanda tork tarafından yapılan işe eşittir. Yani;

P=\tau \omega .\!

Açısal momentum

Açısal momentum L is dönen nesneyi dinlenme haline getirmedeki zorluğun ölçümüdür. Bu da bize şu formülleri verir;

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .

Açısal momentum açısal hız ile ilişkilidir;

\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},

p = mv doğrusal dinamikteki formüldür.

Doğrusal momentumun dairesel hareketteki karşılığı açısal momentumdur. Dönen cismin açısal momentumu daha büyükse mesela o cisim için maksimum seviyede ise açısal momentum, dönmeye devam etme eğilimi daha büyüktür. Ancak dönen cismin açısal momentumu daha küçükse mesela o cisim için minimum seviyede ise açısal momentum, dönmeye devam etme eğilimi daha küçüktür.

Dönen cismin açısal momentum cismin kütlesi ve ne kadar hızlı döndüğüyle doğru orantılıdır. Buna ek olarak, açısal momentum kütlenin dönme eksenine nasıl dağıtıldığına da bağlıdır: eğer ortada dönme ekseninden daha uzakta yoğunlaşan bir kütle söz konusuysa, açısal momentum daha büyüktür; ancak eğer ortada dönme eksenine daha yakın bir noktada yoğunlaşan bir kütle söz konusuysa, açısal momentum daha küçüktür. Düz bir disk olarak bir kayıt pikabını ele alırsak pikabın aynı kütlede olan ve aynı dönme hızına sahip bir boş silindirden daha az açısal momentum sahip olduğunu görürüz.

Doğrusal momentum gibi, açısal momentumda vektörel bir büyüklüktür ve açısal momentumun korunumu dönme ekseninin yönünün değişmeden kalma eğiliminde olduğunu ima eder. Bu nedenle, For this reason, dönen cisim yukarıda asılı bir şekilde dönmeye devam eder ve sabit olan cisimde aniden yere düşer.

Açısal momentum eşitliği cisim üzerinde olan eksendeki bileşke kuvvetin (bazen tork da denir) momentiyle ve bu eksen çerçevesinde dönme oranıyla ilişkilendirmek için kullanılır.

Tork ve açısal momentum şu şekilde ilişkilidir;

{\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},

F = dp/dt doğrusal dinamikteki formüldür. Dış torkun yokluğunda, cismin açısal momentumu sabit kalır. Açısal momentumun korunumu özellikle artistik patinajda sıklıkla gösterilir: dönme sırasında vücuda yaklaşacak şekilde kollar çekildiğinde, when pulling the arms closer to the body during a spin, eylemsizlik momenti azalır ve açısal hız artar; dönme sırasında vücuttan uzaklaşacak şekilde kollar açıldığında, eylemsizlik momenti artar ve açısal hız azalır.

Kinetik enerji

Kinetik enerji K_rot cisim dönmeden dolayı;

K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},

K_trans = ¹⁄₂mv² doğrusal dinamikteki formüldür.

Vektör ifadesi

Yukarıdaki gelişme genel dönme hareketinin özel bir durumudur. Genel durumda, açısal yerdeğiştirme, açısal hız, açısal ivme ve tork vektör olarak kabul edilir.

Açısal yerdeğiştirme vektör olarak kabul edilir; çünkü, eksen boyunca, açısal yerdeğiştirmenin büyüklüğü; $\Delta \theta$ . Sağ el kuralı eksen boyunca hangi yolu işaret ettiğini bulmak için kullanılır; eğer sağ elin parmakları nesnenin döndüğü noktaya doğru kıvrılıyorsa sağ elin başparmağı vektörün yönünü belirtir.

Açısal yerdeğiştirmede olduğu gibi açısal hızda da vektör dönme eksenini gösterir. Eğer disk saat yönünün tersine doğru dönüyorsa, diskin açısal hız vektörü yukarıyı gösterir. Benzer şekilde, açısal ivme vektörü eğer açısal ivme uzun bir süre boyunca korunursa dönme ekseni boyunca aynı yöndeki açısal hızı belirtir.

Tork vektörü torkun dönmeye neden olduğu ekseni belirtir. Sabit eksen boyunca dönmeyi sürdürmek için, toplam tork vektörü eksen boyunca uzanmalı ve sadece büyüklüğünü değiştirir ve açısal hız vektörünün yönünü değiştirmez. Esas noktaya göre, sadece tork vektörünün bileşeninin eksen boyunca dönme üzerinde etkisi vardır. Diğer kuvvetler ve torklar cismin yapısına göre şekillenir.

Örnekler ve uygulamalar

Sabit açısal sürat

Sabit bir eksen etrafında dönmenin basit bir durumu sabit açısal sürattir. Ve toplam tork sıfıra eşittir. Eğer Dünya’nın kendi ekseni etrafında dönmesinden örnek verecek olursak, çok az bir sürtünme vardır. Mekanik bir fan için, fanın motoru sürtünmeyi karşılamak için bir tork uygular. Dönme açısı zamanın doğrusal fonksiyonudur The angle of rotation is a linear function of time ve açı 360° periyodik fonksiyonudur.

Bunun bir örneği dairesel yörüngeli iki cisim problemidir.

Merkezcil çekim kuvveti

İç, çekme gerilmesi dönen nesneyi yörüngede tutmak için merkezcil çekim kuvvetini sağlar. Katı bir cisim modeli malzeme bilimine eşlik eden gerginliği ihmal eder. Eğer cisim katı bir cisim değilse, bu gerilme cismin şekil değiştirmesine neden olur; ancak eğer cisim katıysa, gerilmeyle birlikte bir şekil değişikliği meydana gelmez. Cisimlerin şekil değiştirmesi merkezkaç kuvvetiyle açıklanır.

Birbirlerinin etrafında dönen gök cisimleri genellikle eliptik yörüngeye sahip olurlar. Dairesel yörüngenin özel bir durumu sabit bir eksen etrafında dönmenin bir örneğidir: bu eksende kütle merkezine doğru olan bir çizgi ve hareket düzlemi birbirlerine diktir. Merkezcil çekim kuvveti yerçekimiyle sağlanır, ayrıca bakınız iki cisim problemleri. Bu da genellikle dönen bir gök cismi için geçerlidir, bu yüzden açısal hızı yoğunluğuna göre çok yüksek olmadığı halde, bir arada tutmak için aşırı katı olması gerekmez. (Bununla birlikte üstten ve alttan basık olma eğiliminde olacaktır.) Örneğin, boyutu ne olursa olsun suyun bir gök cismini döndürmesi için en az üç saat on sekiz dakika zaman geçmelidir ya da su ayıracaktır^{[kaynak belirtilmeli]}. Eğer akışkanın yoğunluğu yüksekse, zaman azalır; ancak eğer akışkanın yoğunluğu düşükse zaman artar. Ayrıca bakınız yörünge periodu.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ ^a ^b Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker. ISBN 0-471-23231-9

Konuyla ilgili yayınlar

Concepts of Physics Volume 1, 1st edition Seventh reprint by Harish Chandra Verma ISBN 81-7709-187-5

[Halliday-1] Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker. ISBN 0-471-23231-9

[1]