Jump to content

Shpërndarja binomiale

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shpërndarja binomiale
Probability mass function
Funksioni i masës së probabilitetit
Cumulative distribution function
Cumulative distribution function for the binomial distribution
Simboli
Parametrat – numri i provave
– probabiliteti i suksesit për çdo provë
Mbështetës – numri i sukseseve
FMGJ
FGSH (the funksioni beta i paplotë i rregullarizuar)
Vlera e pritur
Mediana or
Moda ose
Varianca
Shtrirja
Kurtoza e tepërt
Entropia
në njësinë shanon. Për njësitë natyrale, përdorni logaritmin natyror.
FGJM
FK
FGJGJ
Informacione për Fisher
(për të caktuar)

teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja binomiale me parametrat dhe është shpërndarja diskrete e probabilitetit, e cila përshkruan numrin e sukseseve në një seri prej eksperimentesh të pavarura, ku çdo eksperiment i përgjigjet një pyetje po-jo, dhe secili merr një rezultat me vlerë buleane : sukses (me probabilitet ) ose dështim (me probabilitet ). Një eksperiment i vetëm suksesi/dështimi quhet gjithashtu një provë Bernuli ose eksperiment Bernuli, dhe një seri e rezultateve quhet një proces Bernuli ; për një provë të vetme, p.sh., , shpërndarja binomiale është një shpërndarje Bernuli .

Shpërndarja binomiale është baza për testin popullor binomial të rëndësisë statistikore . [1]

Shpërndarja binomiale përdoret shpesh për të modeluar numrin e sukseseve në një zgjedhje me madhësi të nxjerrë me zëvendësim nga një popullatë me madhësi . Nëse marrja e mostrave kryhet pa zëvendësim, tërheqjet nuk janë të pavarura dhe kështu shpërndarja që rezulton është një shpërndarje hipergjeometrike, jo binomiale. Megjithatë, për shumë më të mëdha se , shpërndarja binomiale mbetet një përafrim i mirë dhe përdoret gjerësisht në praktikë.

Funksioni i masës së probabilitetit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në përgjithësi, nëse ndryshorja e rastit X ndjek shpërndarjen binomiale me parametrat dhe , shënojmë . Probabiliteti për të arritur saktësisht suksese në prova të pavarura të Bernulit jepet nga funksioni i masës së probabilitetit :

për k = 0, 1, 2, ..., n, ku

është koeficienti binomial, prandaj edhe emri i shpërndarjes. Formula mund të kuptohet si më poshtë: k sukseset ndodhin me probabilitet dhe dështimet ndodhin me probabilitet . Megjithatë, sukseset mund të ndodhin kudo midis provave, dhe ka mënyra të ndryshme të shpërndarjes së sukseseve në një seri prej provash.

Supozoni se një monedhë e njëanshme bie kokë me probabilitet 0.3 kur hidhet. Probabiliteti për të vërejtur saktësisht 4 koka në 6 hedhje është:

(Këtu N = 6 hedhje, n = 4 hedhje kokë, p= 0.3 i rënies kokë)

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni mbledhës i shpërndarjes mund të shprehet si:

ku është "dyshemeja" nën k, pra numri i plotë më i madh më i vogël ose i barabartë me .

Pritja matematike dhe varianca

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse , domethënë, X është një ndryshore rasti e shpërndarë binomialisht, është numri total i eksperimenteve dhe probabiliteti që çdo eksperiment të japë një rezultat të suksesshëm, atëherë pritja matematike e është: [2]

Kjo rrjedh nga lineariteti i vlerës së pritur së bashku me faktin se është shuma e ndryshoreve të rastit identike Bernuli, secila me pritje matematike . Me fjalë të tjera, nëse janë ndryshore të rastit Bernuli identike (dhe të pavarura) me parametër p, atëherë dhe

Varianca është:

Zakonisht moda statistikore e një shpërndarjeje binomiale është e barabartë me , ku është funksioni dysheme . Megjithatë, kur është një numër i plotë dhe nuk është as 0 as 1, atëherë shpërndarja ka dy moda: dhe . Kur është e barabartë me 0 ose 1, moda do të jetë përkatësisht 0 dhe n . Këto raste mund të përmblidhen si më poshtë:

Në përgjithësi, nuk ka asnjë formulë të vetme për të gjetur mesataren për një shpërndarje binomiale, dhe madje mund të jetë jo unike. Megjithatë, janë vendosur disa rezultate të veçanta:

  • Nëse është numër i plotë atëherë mesarja, mediana dhe moda përkojnë dhe janë të barabarta me .[3]
  • Çdo medianë duhet të shtrihet në intervalin .[4]
  • Një medianë nuk mund të shtrihet shumë larg mesatares: .[5]
  • Mediana është unike dhe e barabartë me ku [4]
  • Kur është numër racional (me përjashtim të dhe tek) mediana është unike.[6]
  • Kur dhe është numër tek, çdo numër në intervalin është mediane e shpërndarjes binomiale. Nëse dhe është tek, atëherë është mediana unike.

Inferenca statistikore

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Vlerësimi i parametrave

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kur dihet n, parametri mund të vlerësohet duke përdorur herësin e sukseseve:

Shpërndarjet e ndërlidhura

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shumat e binomeve

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse dhe janë ndryshore rasti binomiale të pavarura me të njëjtin probabilitet p, pastaj është përsëri një ndryshore binomiale; shpërndarja e saj është : [7]

Një ndryshore rasti e shpërndarë binomialisht mund të konsiderohet si shuma e n ndryshoreve të rastit me ligj Bernuli. Pra, shuma e dy ndryshoreve të rastit të shpërndara binomialisht dhe është e njëvlerëshme me shumën e ndryshoreve me ligj Bernuli, që do të thotë . Kjo gjithashtu mund të vërtetohet drejtpërdrejt duke përdorur rregullin e shtimit.

Pjesëtimi i dy shpërndarjeve binomiale

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ky rezultat u nxor për herë të parë nga Katz dhe bashkëautorët në 1978. [8]

Le të jenë dhe të pavarura. Le të jetë .

Atëherë është përafërsisht e shpërndarë normalisht me mesatare dhe variancë

Funksioni i masës së probabilitetit binomial dhe përafrimi i funksionit të densitetit të probabilitetit normal për n = 6 dhe p = 0.5

Nëse n është mjaftueshëm e madhe, atëherë animi i shpërndarjes nuk është shumë i madh. Në këtë rast një përafrim i arsyeshëm me jepet nga shpërndarja normale

dhe ky përafrim bazë mund të përmirësohet në një mënyrë të thjeshtë duke përdorur një korrigjim të përshtatshëm të vazhdimësisë . Përafrimi bazë përgjithësisht përmirësohet kur n rritet (të paktën 20) dhe është më i mirë kur nuk është afër 0 ose 1. [9] Rregulla të ndryshme praktike mund të përdoren për të vendosur nëse është mjaft i madh dhe p është mjaft larg nga ekstremet e zeros ose njëshit.

  • Një rregull [9] është që për përafrimi normal është i përshtatshëm nëse vlera absolute e anshmërisë është rreptësisht më e vogël se 0.3; domethënë nëse
  • Një rregull më i fortë thotë se përafrimi normal është i përshtatshëm vetëm nëse çdo gjë brenda 3 shmangieve standarde të mesatares së saj është brenda intervalit të vlerave të mundshme; pra vetëm nëse
Ky rregull me 3 devijime standarde është i njëvlershëm me kushtet e mëposhtme, të cilat nënkuptojnë gjithashtu rregullin e parë të mësipërm.
  • Një rregull tjetër i përdorur zakonisht është që të dyja vlerat dhe duhet të jenë më të mëdhaja ose të barabarta me 5. Megjithatë, numri specifik ndryshon nga burimi në burim dhe varet nga sa i mirë dëshiron një përafrim.

Përafrimi Poisson

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shpërndarja binomiale konvergjon drejt shpërndarjes Poisson pasi numri i provave shkon në pafundësi ndërsa produkti np konvergjon në një kufi të fundëm. Prandaj, shpërndarja Poisson me parametrin mund të përdoret si një përafrim me të shpërndarjes binomiale nëse është mjaft e madhe dhe është mjaftueshëm e vogël. Sipas dy rregullave, ky përafrim është i mirë nëse dhe , ose nëse dhe . [10]

Shpërndarje kufizuese

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • Teorema e kufirit të Puasonit : Ndërsa i afrohet dhe i afrohet 0 me prodhimin të mbajtur fiks, ndryshorja binomiale i afrohet shpërndarjes Poisson me pritje matematike . [10]
  • Teorema de Moivre–Laplace : Ndërsa i afrohet ndërsa mbetet fikse, shpërndarja e
i afrohet shpërndarjes normale me pritje matematike  0 dhe variancë  1. Ky rezultat ndonjëherë shprehet lirshëm duke thënë se shpërndarja e është asimptotikisht normale me vlerën e pritur 0 dhe variancë 1. Ky rezultat është një rast specifik i teoremës së kufirit qendror .

Kjo shpërndarje u përftua nga Jakob Bernuli . Ai shqyrtoi rastin ku ku është probabiliteti i suksesit dhe dhe janë numra të plotë pozitiv. Blez Paskali kishte shqyrtuar më herët rastin ku .

  1. ^ Westland, J. Christopher (2020). Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession. Chicago, IL, USA: Springer. fq. 53. ISBN 978-3-030-49091-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ See Proof Wiki
  3. ^ Neumann, P. (1966). "Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung". Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden (në gjermanisht). 19: 29–33.
  4. ^ a b Kaas, R.; Buhrman, J.M. (1980). "Mean, Median and Mode in Binomial Distributions". Statistica Neerlandica. 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  5. ^ Hamza, K. (1995). "The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions". Statistics & Probability Letters. 23: 21–25. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-U. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  6. ^ Nowakowski, Sz. (2021). "Uniqueness of a Median of a Binomial Distribution with Rational Probability". Advances in Mathematics: Scientific Journal. 10 (4): 1951–1958. arXiv:2004.03280. doi:10.37418/amsj.10.4.9. ISSN 1857-8365. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  7. ^ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopohaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction of Probability and Statistics (bot. 1). Springer-Verlag London. ISBN 978-1-84628-168-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  8. ^ Katz, D.; etj. (1978). "Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies". Biometrics. 34 (3): 469–474. doi:10.2307/2530610. JSTOR 2530610. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  9. ^ a b Box, Hunter and Hunter (1978). Statistics for experimenters. Wiley. fq. 130. ISBN 9780471093152. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "bhh" defined multiple times with different content
  10. ^ a b NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts", e-Handbook of Statistical Methods.