Shpërndarja hi

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë, shpërndarja hi është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është shpërndarja e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të një bashkësie ndryshoresh rasti të pavarura secila me një shpërndarje normale standarde, ose në mënyrë të njëvlerëshme, shpërndarja e largësisë Euklidiane të ndryshoreve të rastit nga origjina. Kështu, ajo lidhet me shpërndarjen hi-katror duke përshkruar shpërndarjen e rrënjëve katrore pozitive të një ndryshoreje që i bindet një shpërndarjeje hi-katrore.

Nëse $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ janë $k$ ndryshore rasti të pavarura, me shpërndarje normale me mesatare 0 dhe devijim standard 1, pastaj statistika

$Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}$

shpërndahet sipas shpërndarjes hi. Shpërndarja hi ka një parametër, $k$, i cili specifikon numrin e shkallëve të lirisë (dmth. numrin e ndryshoreve të rastit $Z_{i}$ ).

Shembujt më të njohur janë shpërndarja Rayleigh (shpërndarja hi me dy shkallë lirie ) dhe shpërndarja Maxwell–Boltzmann e shpejtësive molekulare në një gaz ideal (shpërndarja hi me tre shkallë lirie).

Përkufizimet

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i dendësisë së probabilitetit (pdf) i shpërndarjes hi është

$f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{përndryshe}}.\end{cases}}$

ku $\Gamma (z)$ është funksioni gama .

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni mbledhës i shpërndarjes jepet nga:

$F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,$

ku $P(k,x)$ është funksioni gama i rregulluar .

Vetitë

Momente

Momentet e papërpunuara më pas jepen nga:

$\mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}$

ku $\ \Gamma (z)\$ është funksioni gama . Kështu, momentet e para të papërpunuara janë:

$\mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}$

$\mu _{2}=k\ ,$

$\mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,$

$\mu _{4}=(k)(k+2)\ ,$

$\mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,$

$\mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,$

Nga këto shprehje mund të nxjerrim marrëdhëniet e mëposhtme:

Mesatarja: $\mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,$ që llogaritet edhe si ${\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\$ për k të mëdha.

Varianca: $V=k-\mu ^{2}\ ,$ e cila i afrohet $\ {\tfrac {1}{2}}\$ me rritjen e k .

Shtrirja: $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.$

Kurtoza e tepërt: $\gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.$

Entropia

Entropia jepet nga:

$S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))$

ku $\psi ^{0}(z)$ është funksioni poligama .

Përafrim i madh n

Gjejmë përafrimin e madh $n=k+1$ të mesatares dhe variancës së shpërndarjes hi. Kjo ka zbatim p.sh. në gjetjen e shpërndarjes së devijimit standard të një kampioni të popullatës së shpërndarë normalisht, ku $n$ është madhësia e kampionit.

Mesatarja është:

$\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}$

Ne përdorim formulën e dyfishimit të Lezhandrit për të shkruar:

$2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)$ ,

në mënyrë që:

$\mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}$

Duke përdorur përafrimin e Stirlingut për funksionin gamma, marrim shprehjen e mëposhtme për mesataren:

$\mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}$

$=(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]$

$={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]$

$={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]$

E kështu varianca është:

$V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim \chi _{k}$ atëherë $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$ ( shpërndarja hi-katrore )
• $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}\xrightarrow {d} \ N(0,1)\,$ ( Shpërndarja normale )
• Nëse $X\sim N(0,1)\,$ atëherë $|X|\sim \chi _{1}\,$
• Nëse $X\sim \chi _{1}\,$ atëherë $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ ( shpërndarje gjysmë normale ) për çdo $\sigma >0\,$
• $\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( Shpërndarja Rayleigh )
• $\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( Shpërndarja Maxwell )
• $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$, norma Euklidiane e një vektori standard normal të rastit të me $k$ dimensione, shpërndahet sipas një shpërndarjeje hi me $k$ shkallët e lirisë
• Shpërndarja chi është një rast i veçantë i shpërndarjes së përgjithësuar të gamës ose shpërndarjes Nakagami ose shpërndarjes joqendrore hi
• Mesatarja e shpërndarjes hi (shkallëzuar me rrënjën katrore të $n-1$ ) jep faktorin korrigjues në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard të shpërndarjes normale .

Shpërndarje të ndryshme hi dhe hi-katrore

Emri	Statistikat
shpërndarja hi-katrore	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
shpërndarja joqendrore hi-katrore	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
shpërndarja hi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
shpërndarja joqendrore hi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Shiko gjithashtu

• Shpërndarja Nakagami