Sistema non llinial

En matemátiques, los sistemes non lliniales representen sistemes que'l so comportamientu nun ye expresable como la suma de los comportamientos de los sos descriptores. Más formalmente, un sistema físicu, matemáticu o d'otru tipu ye non llinial cuando les ecuaciones de movimientu, evolución o comportamientu que regulen el so comportamientu son non lliniales. En particular, el comportamientu de sistemes non lliniales nun ta suxetu al principiu de superposición, como lo ye un sistema llinial.

En diverses cañes de les ciencies la non linealidad ye la responsable del comportamientos complexos y, frecuentemente, impredictibles o teoría del caos caóticos. La non linealidad frecuentemente apaez amestada a la autointeracción, l'efectu sobre'l mesmu sistema del estáu anterior del sistema. En física, bioloxía o economía la non linealidad de diversos subsistemas ye una fonte de problemes complexos, nes últimes décades l'apaición de los ordenadores dixitales y la simulación numbérica disparó l'interés científicu polos sistemes non lliniales, yá que per primer vegada munchos sistemes pudieron ser investigaos de manera más o menos sistemática.

Introducción

La linealidad d'un sistema dexa a los investigadores faer ciertos camientos matemáticos y aproximamientos, dexando un cálculu más senciellu de los resultaos. Una y bones los sistemes non lliniales nun son iguales a la suma de los sos partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y los sos comportamientos con al respective de una variable dada (por casu, el tiempu) ye desaxeradamente malo de predicir.

Dellos sistemes non lliniales tienen soluciones exactes o integrables, ente qu'otros tienen comportamientu caóticu, polo tanto non pueden amenorgase a una forma simple nin pueden resolvese. Un exemplu de comportamientu caóticu son les foles xigantes. Anque dellos sistemes non lliniales y ecuaciones d'interés xeneral fueron estensamente estudiaos, la vasta mayoría son ruinamente entendíos.

Sistemes lliniales

En matemátiques una función llinial ye aquella que satisfai les siguientes propiedaes (yá que nun sistema tien que poner en xunto de dos o más ecuaciones).

Aditividad: $f(x+y)=f(x)+f(y)\$
Homoxeneidá: $f(\alpha \,x)=\alpha \,f(x)\$

Estos dos regles tomaes en xunto conócense como Principiu de superposición.

Sistemes non lliniales

Les ecuaciones non lliniales son d'interés en física y matemátiques por cuenta de que la mayoría de los problemes físicos son implícitamente non lliniales na so naturaleza. Exemplos físicos de sistemes lliniales son relativamente raros. Les ecuaciones non lliniales son difíciles de resolver y dan orixe a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación llinial pue ser descrita usando un operador llinial, L. Una ecuación llinial en dalgún valor desconocíu de $o$ tien la forma

Lu=0\,

Una ecuación non llinial ye una ecuación de la forma:

F(o)=0\,

Pa dalgún valor desconocíu de $o$ .

Pa poder resolver cualquier ecuación precísase decidir en qué espaciu matemáticu atópase la solución $o$ . Podría ser que $o$ ye un númberu real, un vector o, seique, una función con delles propiedaes.

Les soluciones d'ecuaciones lliniales pueden ser xeneralmente descrites como una superposición d'otres soluciones de la mesma ecuación. Esto fai que les ecuaciones lliniales sían fáciles de resolver.

Les ecuaciones non lliniales son muncho más complexes, y muncho más difíciles d'entender pola falta de soluciones simples superpuestes. Pa les ecuaciones non lliniales les soluciones xeneralmente nun formen un espaciu vectorial y, polo xeneral, nun pueden ser superpuestes pa producir nueves soluciones. Esto fai'l resolver les ecuaciones muncho más difícil qu'en sistemes lliniales.

Ferramientes pa la solución de ciertes ecuaciones non lliniales

Al día de güei, esisten munches ferramientes p'analizar ecuaciones non lliniales, por mentar dalgunes tenemos: dinámica de sistemes, [[teorema de la función implícita]] y la teoría de la bifurcación

Malinietski G.G. 2006. Fundamentos matemáticos de la sinergética. Caos, estructures y simulación por ordenador. [1].

Exemplos de sistemes non lliniales

Una importante coleición de sistemes físicos y d'otru tipu paecen venir descritos por sistemes d'ecuaciones d'evolución temporal que de fechu son ecuaciones diferenciales non lliniales, dellos exemplos bultables de non linealidad son los siguientes:

Les ecuaciones de campu d'Einstein que describen el campu gravitatorio dientro de la teoría de la relatividá xeneral.
Les ecuaciones de Navier-Stokes de la dinámica de fluyíos, que la so complexidá convertir nun problema matemáticu famosu (de fechu un problema peculiar amestáu a estes ecuaciones constitúi unu de los problemes del mileniu propuestos pol Institutu Clay).
La óptica non llinial.
El sistema del tiempu atmosféricu na Tierra.
El valumbu d'un uniciclo robot.
La ecuación de tresporte de Boltzmann.
La ecuación de Korteweg-de Vries.
La ecuación non llinial de Schrödinger.

Ver tamién

Referencies

Bibliografía

Malinietski G.G. 2006. Fundamentos matemáticos de la sinergética. Caos, estructures y simulación por ordenador.
YAN Kun(2011). Nonlinstor-A electronic circuit element based on the form of the nonlinear differential equation (Brief annotation of the connection equation(R)), Xi'an: Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute.

Enllaces esternos

[2].