Tétraèdre trirectangle

Un tétraèdre trirectangle construit sur un trièdre trirectangle.

En géométrie, un tétraèdre trirectangle est un tétraèdre dont trois faces sont des triangles rectangles dont les angles droit aboutissent au même sommet. Ce sommet H est l'orthocentre du tétraèdre, lequel est donc orthocentrique. La face opposée à ce sommet s'appelle la base. La perpendiculaire à la base issue de H est appelée la hauteur du tétraèdre (les autres hauteurs étant les arêtes issues de H).

Coordonnées des points remarquables

Soient A, B, C les sommets de la base, $a=HA,b=HB,c=HC$ ; dans le repère orthonormé $(H,{\overrightarrow {HA}}/a,{\overrightarrow {HB}}/b,{\overrightarrow {HC}}/c)$ , on a les expressions suivantes :

• $A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$
• le centre de gravité $G(a/4,b/4,c/4)$ qui est à la fois l'isobarycentre des sommets et le centre d'inertie du solide tétraédrique homogène.

Démonstration

On peut le montrer en faisant

$x_{G}={\frac {6}{abc}}\int _{0}^{a}\left(\int _{0}^{b(1-{\frac {x}{a}})}\left(\int _{0}^{c(1-{\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}})}x\,\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x={\frac {a}{4}}$.

et de façon similaire pour y_G et z_G.

• le centre de gravité de la base $I(a/3,b/3,c/3)$
• le centre de la sphère circonscrite $O(a/2,b/2,c/2)$, laquelle est de rayon ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
• L'équation du plan de la base : $x/a+y/b+z/c=1$

Formules métriques

Le tétraèdre trirectangle a pour volume

$V={\frac {abc}{6}}.$

La longueur h de la hauteur satisfait

${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.$

L'aire $S_{0}$ de la base est donnée par

$S_{0}={\frac {abc}{2h}}.$

Construction

Un patron du tétraèdre trirectangle est formé d'un triangle ABC (qui sera la base du tétraèdre) et de trois triangles rectangles $BCD_{1},CAD_{2},ABD_{3}$ aux hypoténuses égales aux côtés du triangle de base.

Posant $a=AD_{2}=AD_{3},b=BD_{3}=BD_{1},c=CD_{1}=CD_{2}$, on doit avoir les relations permettant de construire la base à partir des triangles rectangles :

• $x^{2}=b^{2}+c^{2}$
• $y^{2}=a^{2}+c^{2}$
• $z^{2}=a^{2}+b^{2}$

ou bien, permettant de construire les triangles rectangles à partir de la base, qui doit être un triangle acutangle :

• $2a^{2}=-x^{2}+y^{2}+z^{2}$
• $2b^{2}=x^{2}-y^{2}+z^{2}$
• $2c^{2}=x^{2}+y^{2}-z^{2}$

Théorème de de Gua

Si l'aire de la base est $S_{0}$ et les aires des trois autres faces (à angle droit) sont $S_{1}$, $S_{2}$ et $S_{3}$, alors

$S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}$

C'est une généralisation au tétraèdre du théorème de Pythagore.

Cas particulier

Si la base est équilatérale, ce qui équivaut à $a=b=c$, on parle de tétraèdre trirectangle régulier, bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier .

Parallélépipède circonscrit

Le parallélépipède circonscrit a pour sommets $H,A,B,C,H'(a/2,b/2,c/2)=O,A'(-a/2,b/2,c/2),B'(a/2,-b/2,c/2),C'(a/2,b/2,-c/2)$.

C'est un rhomboèdre de longueur d'arête ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$, et dont les quatre diagonales ont aussi pour longueur ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

Articles connexes

• Simplexe
• Brique Euler, tétraèdre trirectangle dont les six arêtes ont des longueurs entières.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trirectangular tetrahedron » (voir la liste des auteurs).