Teorema di Pick

Poligono costruito su una griglia di punti. Applicando il teorema di Pick si ha: i = 39, p = 14, da cui A = 39 + 14/2 - 1 = 39 + 7 - 1 = 45.

Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere.

Trattazione formale

In un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere, siano:

• $i$ il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;
• $p$ il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).

L'area $A$ del poligono può essere calcolata tramite la formula:

$A=i+{\frac {p}{2}}-1.$

Dimostrazione

Osserviamo innanzitutto che ogni poligono è decomponibile in triangoli. La dimostrazione del teorema di Pick equivale dunque a dimostrare le seguenti tesi:

• la formula di Pick è additiva;
• il teorema di Pick vale per un triangolo generico.

Consideriamo un poligono $P$ risultante dall'unione di due poligoni $A$ e $B$, i cui lati condividono $c$ punti di contatto a coordinate intere. Vogliamo dimostrare che $F(P)=F(A)+F(B)$, dove $F$ è la formula di Pick. Per il poligono $P$ si ha

${\begin{aligned}F(P)&=i_{P}+{\frac {p_{P}}{2}}-1\\&=(i_{A}+i_{B}+c-2)+{\frac {(p_{A}-c)+(p_{B}-c)+2}{2}}-1\\&=\left({\frac {p_{A}}{2}}+i_{A}-1\right)+\left({\frac {p_{B}}{2}}+i_{B}-1\right)\\&=F(A)+F(B)\end{aligned}}$

Il primo punto è stato dimostrato. Per dimostrare il secondo punto, si procede per gradi, prima dimostrando il teorema per rettangoli, poi per triangoli rettangoli particolari, e infine considerando i triangoli più generici come somme o differenze di tali figure elementari. Questo è lecito proprio perché l'additività è stata dimostrata.

Applicando il teorema ad un rettangolo con i lati $a$ e $b$ rispettivamente paralleli ai due assi, si ha:

$A=i+{\tfrac {p}{2}}-1=ab-a-b+1+a+b-1=ab$

che è corretto. Per un triangolo rettangolo di cateti $a$ e $b$ e la cui ipotenusa non ha punti a coordinate intere (eccetto gli estremi), si ha:

${\begin{aligned}F(P)&=i_{P}+{\frac {p_{P}}{2}}-1\\&={\frac {(a-1)(b-1)}{2}}+{\frac {a+b+1}{2}}-1\\&={\frac {ab}{2}}\end{aligned}}$

che è corretto. I triangoli rettangoli con punti sull'ipotenusa possono essere suddivisi decomposti in rettangoli e triangoli rettangoli senza punti sull'ipotenusa, dunque il teorema vale per tutti i triangoli rettangoli. Per i triangoli non rettangoli, infine, basta notare che sono ottenibili tramite somme e differenze di figure per cui è già stato dimostrato che la formula vale.

Il secondo punto è stato dimostrato, dunque la tesi iniziale è valida.

Bibliografia

• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., Wiley, 1989.

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Collegamenti esterni

• Il teorema di Pick - Appunti di matematica ricreativa di Gianfranco Bo
• Una semplice dimostrazione del Teorema di Pick di Domenico Lenzi