Tors (ģeometrija)

Tors (no latīņu: torus — 'izcilnis, izliekums') ir ģeometrisks ķermenis, ko ierobežo virsma, kas rodas, riņķim rotējot ap savā plaknē esošu ārēju (riņķi nekrustojošu) asi. Šī ķermeņa virsma ir toroidāla (gredzenam vai barankai līdzīga) un pieder pie rotācijas virsmām.

Tora parametriskais vienādojums

$\left\{{\begin{matrix}x(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\cos \psi \\y(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\sin \psi \\z(\phi ,\psi )=&r\sin \phi \\\end{matrix}}\right.\qquad \phi ,\psi \in [0,2\pi )$

R — attālums no riņķa centra līdz rotācijas asij, r — riņķa rādiuss.

Tora neparametriskais vienādojums

Toru tajās pašās koordinātās un ar tiem pašiem rādiusiem var izteikt ar ceturtās pakāpes vienādojumu:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0

Formulas

Virsmas laukumu un tilpumu šādam toram var viegli aprēķināt, izmantojot Papusa teorēmas un iegūstot formulas

S=4\pi ^{2}Rr=2\pi r\cdot 2\pi R,\,

V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\pi r^{2}\cdot 2\pi R.\,

Šīs formulas ir tādas pašas kā cilindram ar augstumu 2πR un rādiusu r, izveidotam pārgriežot toru un atritinot to, iztaisnojot līniju, kas iet "pa tora centru". Zudumi virsmas laukumam un tilpumam tora iekšējā pusē precīzi kompensē pārpalikumus tora ārpusē.