Unitární matice

Unitární matice je čtvercová komplexní matice A, jejíž hermitovsky sdružená matice je současně maticí inverzní, tj.

$A^{-1}=A^{H},\qquad {\text{a tedy}}\qquad A^{H}A=AA^{H}=I,\qquad {\text{kde}}\qquad A^{H}={\bar {A}}^{T}$

a $I$ je jednotková matice.

Unitární matice jsou příkladem normálních matic. Reálná unitární matice je ortogonální.

Unitární matice reprezentují unitární transformaci komplexního vektorového prostoru vzhledem k ortonormální bázi.

Množina všech unitárních matic $n\times n$ tvoří grupu, která se nazývá unitární a značí $U(n)$

Dvojrozměrné matice

Libovolnou unitární $2\times 2$ matici $U$ lze parametrizovat různým způsobem. Matici lze například vyjádřit jako součin tří matic a komplexního prefaktoru způsobem

$U=e^{i\alpha }{\begin{pmatrix}e^{-i\beta /2}&0\\0&e^{i\beta /2}\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}e^{-i\delta /2}&0\\0&e^{i\delta /2}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }\,{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{-{\frac {i}{2}}(\beta +\delta )}&-\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{{\frac {i}{2}}(-\beta +\delta )}\\\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{{\frac {i}{2}}(\beta -\delta )}&\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)e^{{\frac {i}{2}}(\beta +\delta )}\end{pmatrix}}$,

kde $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ jsou reálná čísla.

Trojrozměrné matice

Libovolnou unitární $3\times 3$ matici $U$ lze parametrizovat různým způsobem, viz např. . V takovéto parametrizaci lze obecnou unitární matici zapsat ve tvaru:

$U=e^{i\alpha }\left({\begin{array}{ccc}e^{i\varphi _{1}}\cos \left(\theta _{1}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)&e^{i\varphi _{3}}\sin \left(\theta _{1}\right)&e^{i\varphi _{4}}\sin \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{1}\right)\\e^{i\left(-\varphi _{4}-\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{2}\right)\sin \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}-\varphi _{3}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)&e^{i\varphi _{2}}\cos \left(\theta _{1}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)&-e^{i\left(\varphi _{2}-\varphi _{3}+\varphi _{4}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\sin \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(-\varphi _{1}-\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{3}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)\\-e^{i\left(-\varphi _{2}-\varphi _{4}\right)}\sin \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(\varphi _{1}-\varphi _{3}+\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\sin \left(\theta _{3}\right)\cos \left(\theta _{2}\right)&e^{i\varphi _{5}}\sin \left(\theta _{3}\right)\cos \left(\theta _{1}\right)&e^{i\left(-\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)}\cos \left(\theta _{2}\right)\cos \left(\theta _{3}\right)-e^{i\left(-\varphi _{3}+\varphi _{4}+\varphi _{5}\right)}\sin \left(\theta _{1}\right)\sin \left(\theta _{2}\right)\sin \left(\theta _{3}\right)\\\end{array}}\right),$

kde $0\leq \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\leq \pi /2$ a $0\leq \alpha ,\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\leq 2\pi$. Pokud $\alpha =0$ odpovídá výše uvedená parametrizace maticím z SU(3), které mají determinant roven jedné.

Související články

• Unitární transformace