Valeur principale de Cauchy

En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur d'Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

Définition

Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour a<c<b, la limite suivante

$\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\eta \to 0}\int _{c+\eta }^{b}f(x)\mathrm {d} x=L$

existe et soit finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.

Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque ε et η tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite

$\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\mathrm {d} x+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)=L$

existe et est finie. Dans ce cas-là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

$\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=L$

La définition s'étend comme suit^{[réf. souhaitée]} au cas avec n singularités $a<x_{1},...,x_{n}<b$ :

si pour ε >0 les intégrales $\int _{a}^{x_{1}-\varepsilon }f(x)\mathrm {d} x,\ldots ,\int _{x_{n}+\varepsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x$ existent et sont finies et que la limite

$\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{a}^{x_{1}-\varepsilon }f(x)\mathrm {d} x+\dots +\int _{x_{n}+\varepsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)=L$

existe, on pose : $\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=L$.

Exemples

Fonction puissance

Figure 1 : Illustration de l'intégrale impropre de la fonction $x\mapsto x^{-3}$.

Soit la fonction f définie par $f(x)=x^{-3}$ illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :

$\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\mathrm {d} x \over x^{3}}+\lim _{\eta \to 0}\int _{\eta }^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x^{3}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{-1 \over 2\varepsilon ^{2}}+\lim _{\eta \to 0}{1 \over 2\eta ^{2}}$

Cette limite n'existe pas lorsque ε et η tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant ε=η, la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :

$\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathrm {d} x \over x^{3}}=0$

Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

Logarithme intégral

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par

$\mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}.$

Cette notation est abusive, il faut en effet voir cette définition pour x > 1 comme la valeur principale de Cauchy :

$\mathrm {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right).$

Lien avec la théorie des distributions

Soit ${\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ l'ensemble des fonctions lisses à support compact de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {C}$. On peut alors définir une application

$\operatorname {v.p.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:{\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$

telle que

$\operatorname {v.p.} \left({\frac {1}{x}}\right)(f)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {f(x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right)\quad {\text{ pour toute }}f\in {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$

Cette application est bien définie et est une distribution d'ordre 1.

De façon plus générale, on peut définir la valeur principale d'un grand nombre d'opérateurs intégraux à noyau singulier. Soit $K:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ une fonction admettant une singularité en 0 mais continue sur $\mathbb {R} -\{0\}$. Dans certains cas, la fonction suivante est bien définie et il s'agit d'une distribution.

$\operatorname {v.p.} (K)(f)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-\infty }^{-\varepsilon }f(x)K(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\varepsilon }^{\infty }f(x)K(x)\,\mathrm {d} x\right)\quad {\text{ pour toute }}f\in {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$

Autres notations

Dans la littérature, la valeur principale de Cauchy est parfois aussi notée :

$P\int f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad VP\int f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \int ^{*}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \int \!\!\!\!\!\!\!{\frac {}{\ \ \ }}f(x)\,\mathrm {d} x$

où PV désigne l'anglais Principal Value.

Voir aussi

• Intégrale impropre
• Transformée de Hilbert
• Régularisation de Hadamard
• Théorème de Poincaré-Bertrand

Références

• (en) E. T. Copson, An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford University Press, 1955 (ISBN 978-0-198-53145-6)
• Murray R. Spiegel (en), Variables complexes, McGraw-Hill, 1991 (ISBN 978-2-7042-0020-7)