Vecteur nul

Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif $K$, le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Son existence est donnée par la définition de la structure d'espace vectoriel. Il peut être noté $0_{E}\,$ ou $\mathbf {0}$ ou encore ${\vec {0}}$, ou tout simplement 0.

Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si $a$ et $b$ sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors $a=a+b$ par nullité de $b$ et $b=a+b$ par nullité de $a$, donc $a=b$.

Propriétés et remarques

• Il est le résultat de la multiplication par le scalaire $0_{K}\,$ de n'importe quel vecteur de E et de la multiplication par n'importe quel scalaire par lui-même. Plus précisément, pour un scalaire $\lambda$ et un vecteur v,

$\lambda v=0_{E}\iff (\lambda =0_{K}\ {\text{ou}}\ v=0_{E}).$

• Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire $f:E\rightarrow F$, le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F : $f(0_{E})=0_{F}$.
• L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire $f$ est un sous-espace vectoriel de E : il est appelé noyau de l'application linéaire f.
• L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.

Exemples

• Lorsque K est un corps commutatif, dans l'espace vectoriel $(K,+,\cdot )$, le vecteur nul est l'élément neutre additif de $K$, c'est-à-dire $0_{K}$.
• Dans le K-espace vectoriel Kⁿ, le vecteur nul est le n-uplet $(0,\ldots ,0)$ où $0$ est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
• Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
• Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace ${\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )$ des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
• En vertu des deux points précédents, dans l'espace vectoriel ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ des fonctions continues de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, le vecteur nul est la fonction nulle.
• Dans l'espace vectoriel $K[X]$ des polynômes à coefficients dans un corps commutatif $K$, le vecteur nul est le polynôme nul.
• Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A.
• L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul. Pour tout espace vectoriel E, il existe une unique injection de l'espace nul $\{0\}$ vers E, qui envoie 0 sur $0_{E}$. La dimension de l'espace nul est 0.