Vektorsko polje

U matematici i fizici vektorsko polje je polje, koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu.

Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka je $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i neka $X_{0}$ označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu $\left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D$ , tj.

X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}

.

Kažemo da je funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija ili vektorsko polje) svaka funkcija

{\overrightarrow {\textbf {W}}}:D\mapsto X_{0}.

Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Transformacije sustava

Neka je $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i $V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ukoliko je $Y$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu $Y$ :

V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u $\mathbb {R} ^{7}$ (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: $\left(v_{x},v_{y},v_{z},t,x,y,z\right)$ (polje je zavisno o vremenu!).
Brzina protjecanja fluida kroz cijev.
Opis magnetskog djelovanja.
Opis električnog djelovanja.
Gravitacija.