Wortelgemiddelde

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een centrummaat. Het wortelgemiddelde met macht $p$ van een rijtje van $n$ getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht $p$, bepaal het rekenkundige gemiddelde van deze $p$-de machten en neem uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Behalve het rekenkundige gemiddelde ($p=1$) zijn ook het meetkundig gemiddelde ($p=0$), het kwadratische gemiddelde ($p=2$) en het harmonische gemiddelde ($p=-1$) wortelgemiddelden.

Het rijtje getallen waar het om gaat is op te vatten als een vector. In een coördinatenruimte in $n$ dimensies, dat kan een reële of een complexe coördinatenruimte zijn, bepaalt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten van deze vector voor $p\geq 1$ een norm voor die vector. L^p-ruimten zijn zo gedefinieerd.

Definitie

Voor het reële getal $p\neq 0$ is het $p$-de-machtswortelgemiddelde van de getallen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ gedefinieerd. De getallen mogen niet negatief zijn.

$W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}$.

Hoewel het voorschrift van sommige gemiddelden niet meteen hetzelfde is, worden zij toch als wortelgemiddelde gerekend. Deze wortelgemiddelden zijn in de limiet voor $p\to 0,\ p\to -\infty$ en $p\to \infty$ gedefinieerd:

$W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}$, het meetkundige gemiddelde

$W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$, het minimum

$W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$, het maximum

Voorbeelden

• $p=1$ geeft het rekenkundige gemiddelde: $W_{1}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$
• $p=2$ geeft het kwadratische gemiddelde: $W_{2}={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$
• $p=-1$ geeft het harmonische gemiddelde: $W_{-1}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Eigenschappen

• Het wortelgemiddelde is homogeen, dat wil zeggen dat voor $\lambda >0$ geldt:

$W_{p}(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\ldots ,\lambda a_{n})=\lambda W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

• De berekening van een wortelgemiddelde kan in blokken van gelijke grootte worden opgesplitst:

$W_{p}(a_{1},\,a_{2},\ldots ,a_{mk})=W_{p}(W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{k}),W_{p}(a_{k+1},\ldots ,a_{2k}),\ldots ,W_{p}(a_{(m-1)k+1},\ldots ,x_{mk}))$

• Algemeen geldt voor $-\infty \leq s\leq t\leq \infty$:

$W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

• Het wortelgemiddelde van $n$ dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:

$W_{p}(a,a,\ldots ,a)=a$

• Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.

$s\neq t\land W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\implies a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}$

Bewijzen voor de limietgevallen

W₀ 

Het wortelgemiddelde $W_{0}$ is de limiet van $W_{p}$ voor $p\to 0$. Immers:

$W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\exp {\left(\ln {\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)}-\ln n}{p}}\right)}$

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

$\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)-\ln n}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\ln {a_{k}}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln {a_{k}}=\ln \left((a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}\right)$

Omdat de exponentiële functie een continue functie is, volgt:

$\lim _{p\to 0}W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\exp {\ln \left((a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}\right)}=(a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}=W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

W_−∞ 

Het wortelgemiddelde $W_{-\infty }$ is de limiet van $W_{p}$ voor $p\to -\infty$.

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

$W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\frac {1}{W_{\infty }(1/a_{1},1/a_{2},\ldots ,1/a_{n})}}$

W_∞ 

Het wortelgemiddelde $W_{\infty }$ is de limiet van $W_{p}$ voor $p\to \infty$. Immers:

Laat $a=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$, dan is:

$\lim _{p\to \infty }W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}=a\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a_{k}}{a}}\right)^{p}\right)^{1/p}=a=W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

Websites

• MathWorld. Power Mean.