מעוין

מעוינים ואלכסוניהם

מעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון (דלתון קמור שווה-שוקיים) ושל מקבילית (מקבילית שוות שוקיים). ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

בגאומטריה אנליטית ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כמקום הגאומטרי של הנקודות (x, y) שמקיימות:

$\left|{\frac {x}{p}}\right|\!+\left|{\frac {y}{q}}\right|\!=1$.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

אטימולוגיה

המילה "מעוין" שאולה מהמילה הערבית "معين" (תרגומו המילולי הוא גם "מוגדר"). המינוח נקבע לייצג את הצורה הגאומטרית של מרובע שווה-צלעות בעברית על ידי המתרגם רבי אברהם בר חייא, נעשה בו גם שימוש בספרות ימי הביניים היהודית.

כמו כן נמצא גם שימוש במושג "מעוין" בעברית הירושלמית כמילה המגדירה את המושג שקול, דוגמה לכך אפשר למצוא במדרש על משה שאמר לאלוהים ”רבון העולמים כי עין בעין נראה, מהו כי עין בעין? אמר ריש לקיש הרי מאזנים מעוין, אתה אומר "אכנו בדבר", ואני אומר "סלח נא", נראה של מי עומד”. כמו כן נעשה גם שימוש דומה במילה על ידי ספרות ההלכה של ימי הביניים.

תכונות המעוין

מעוין

• כל הצלעות שוות באורכן. בציור: AB = BC = CD = DA.
• צלעות נגדיות מקבילות (AB || CD ; BC || DA).
• זוויות נגדיות שוות זו לזו ($\angle A=\angle C;\angle B=\angle D$).
• כל הגבהים שווים בארכם (בציור הגובה מסומן ב-h).
• היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 ($\ P=4a$).
• בכל מעוין ניתן לחסום מעגל שרדיוסו $r={\frac {a\sin \alpha }{2}}$
• חבורת הסימטריות של מעוין שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.

האלכסונים

• האלכסונים מאונכים זה לזה ($AC\perp BD$).
• האלכסונים חוצים זה את זה (AS = CS; BS = DS).
• האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.

את אורך האלכסונים p = AC ו-q = BD ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות ממשפט הקוסינוסים:

$p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}$

$q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}$

שטח המעוין

קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:

• מחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית.
• אורך צלע כפול הגובה (בציור: $K=a\cdot h$). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
• אורך צלע בריבוע כפול סינוס של אחת הזוויות. בציור: $K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta$
• הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור: $K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},$
• חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור: $K=2a\cdot r$

משפטים הפוכים

• מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
• מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
• מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
• מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

ריצוף המישור

באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור ריצוף של המישור בשלוש דרכים:

ריצוף ששקול טופולוגית לריצוף ריבועי		ריצוף במעוינים שזוויותיהם 60 ו-120 מעלות

תכונות דואליות

המצולע הדואלי של המעוין הוא המלבן:

• במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
• במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
• למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
• למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
• האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
• חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

ראו גם

• ארגייל - דוגמת סריגה פופולרית של תבנית מעוינים

קישורים חיצוניים

• מעוין, באתר MathWorld (באנגלית)